НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Обзорная лекция контрольные вопросы и упражнения к экзаменам. /Болотов В.П. , Болотова В.П., Вербаускене Н.А./ - Владивосток: ДВГМА, 2001. - 1 уч.-изд.л.

Пособие предназначено для подготовке к экзаменам по начертательной геометрии. Задачи НГ размещены по трем блокам из которых по методу случайных чисел автоматически формируется экзаменационный билет. Студент сначала отвечает на вопросы, результаты ответов заносятся автоматически в журнал-ведомость. Задачи билета студент решает тут же в системе "Вектор" или на бумаге формата А3. После этого студент проходит собеседование и получает окончательную оценку. Материал пособия соответствует действующей программе курса "Компьютерная  и инженерная графика". Пособие является частью курса, включающего конспект лекций, сценария практических занятий, тест-контролирующих и обучающих карт, представленных в электронном виде в Интернет по адресу: http://vm.msun.ru/V_gr_an.htm

Рецензент: Герасимов А.П.
к.т.н., доцент ДВГМА
 



С  о   д  е  р  ж  а  н  и  е
Обзорная лекция
Тема 1. Комплексный чертеж точки, классификация прямых и плоскостей, позиционные задачи на принадлежность.
Тема 2. Пересечение прямых и плоскостей. Многогранники. Чертеж детали
Тема 3. Метрические свойства прямоугольных проекций. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Методы преобразования проекций и решение метрических задач.



Обзор основных принципов начертательной геометрии
Начертательная геометрия (НГ) это познание геометрических свойств трехмерного мира и решения задач связанных с ним.
Основной задачей  НГ является овладение методами моделирования пространственных форм, отображение их на плоскости и виртуальном компьютерном пространстве, а также решение метрических задач связанных с этими формами.
НГ является лучшим средством развития пространственного мышления, без которого немыслимо никакое   общение между людьми на уровне чертежа, рисунка - гениального изобретения человеческой мысли, - понятному любому человеку.  Развитие пространственного воображения пробуждает эстетическую и художественную сторону мышления, что является мощным фактором в творческом процессе развивающей личности.

Задачи НГ хорошо формализованы и для их решения требуется определенное упорство и строгое логическое мышление. 50-60 самостоятельно решенных задач вполне достаточно, чтобы овладеть методами их решения и выйти на подсознательный (устойчивый) метод их решения. Быстро освоить решение задач НГ можно в специально созданной системе "Вектор". В ней, по готовым исходным данным (см. в Интернете) каждой задачи, можно быстро прорешать большое количество (100-150)  задач НГ, чем вы не только освоите НГ, но и создадите для себя базу решения задач по другим дисциплинам, и дальше в жизни - в самых различных ситуациях см. курс векторно-графического анализа, или творчества в Арт-Школе, поставленного и ставящего также  на базе системы "Вектор".

Содержание НГ можно разделить на три основные темы:
Т
ема 1. Моделирование 3-мерного пространства и изображение в нем точки, прямых и плоскостей.
Тема 2. Позиционных характер изображаемых образов: совокупность их (сложные формы из простых) и взаимное положение: пересекаются или не пересекаются, как расположены относительно системы координат и т.п.
Тема 3. Метрические свойства прямоугольных проекций: перпендикулярность прямых и плоскостей, методы преобразования проекций и решение метрических задач.

Методология решения задач НГ основана на знаниях:
1. Основных свойств (теорем) отргонально-параллельного проецирования
2. Частных случаев, когда та или иная задача решается непосредственно без каких-либо методов
3. Методов, при помощи которых можно ту или иную задачу привести к частному случаю.

Основные теоремы НГ. Их  не так много. Вот некоторые из них:

1) У параллельных прямых - параллельны и их проекции. Это сохраняется как на комплексной чертеже (КЧ) так и аксонометрическом (АЧ).
2) Плоская фигура, параллельная координатной плоскости, проецируется на нее в натуральную величину (НВ).
3) Прямой угол проецируется в НВ достаточно, если одна из его сторон является линией уровня
4) Прямая параллельно плоскости если она параллельна какой-либо прямой лежащей в плоскости.
5) Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярно одновременно двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости
6) Точка принадлежит плоскости, если она лежит на какой-либо прямой лежащей в плоскости
7) Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки лежат в плоскости
8) Прямые будут пересекаться, если их точка пересечения будет лежать на прямой. Для совпадающих профильных прямых это условие проверяется на профильной координатной плоскости.
9) Две параллельные, как и две пересекающиеся прямые определяют плоскость.
10) Прямая, параллельная какой-либо прямой плоскости и проходящая через точку плоскости будет также лежать в плоскости.
11) Вырожденные проекции собирают: для прямой все ее точки в одну, плоскости - прямую, цилиндра -  окружность.
Из основных свойств появляются подсвойства и методы решения задач. Поэтому надо помнить основные свойства и уметь применять их в совокупности, а в "обратном" чтении.

Пример. Построить сечение пирамиды, если известно, что три ее точки р1-р2-р3 лежат на ее ребрах.
Задача из средней школы и решается по аксонометрическому изображению пирамиды.
Решение задачи. Перебираем основные свойства и пробуем их применить. Параллельность прямых сохраняется на КЧ и АЧ - что-то уже в этом есть. Две параллельные прямые определяют плоскость - еще одна зацепка. Параллельные плоскости пересекаются другой плоскостью по параллельным прямым (для призмы у которой плоскости оснований параллельны - подходит). Прямая, параллельная какой-либо прямой плоскости и проходящая через точку плоскости будет также лежать в плоскости - тоже неплохо. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки лежат в плоскости.  Определений много. С чего начать. Точку О1 ищем. Сначала т. Sx строим, затем точки М и O. В пересечении MS и p2-O и будет точка О1. Затем на заднем ребре Т определяется в пересечении BS с p1-O1.  T1 (внизу ) - определяется в
пересечении ТО с  SD и т.д. - в основной применяется как раз метод принадлежности прямой линии плоскости. Н
На 2-х других рисунках схема построения будет той же.

Или другой пример: найти расстояние от точки до прямой общего положения. Анализируем задачу. Во-первых, сразу смотрим, как задача решается в частных случаях, когда прямая занимает проецирующее положение или уровня. В первом случае искомое расстояние определяется до вырожденной проекции, во-втором -  на основе 3-го свойства о проецировании прямого угла. К прямой ОП провести перпендикуляр видим, что нельзя. А  что, если плоскость из точки провести перпендикулярно к прямой (вот обратный порядок применения теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости). Да, такой ход возможен . Плоскость задаем фронталью и горизонталью,  ищем ее пересечение с данной прямой и,  соединив ее с искомой, найдем искомое расстояние. Данная задача  методом замены плоскостей проекции (ЗПП) решается намного проще, т.е. как раз преобразованием можно прямую, из общего положения, привести в частное, при котором задача решается сразу.
В систем Вектор данная задача как и многие решаются еще намного проще, однако основной смысл НГ геометрии остается, поэтому надо прорешать задачи тем и другим способом.
Тест-экзамен подобран таким образом, чтобы показать знания  основ НГ. Оценка ставится за совокупность ответа  на вопросы тест-карты и умение решать в ней поставленные задачи.


Тема 1. Комплексный чертеж точки, классификация прямых и плоскостей, позиционные задачи на принадлежность.

Упражнение 1.1. Построить точку на комплексном и аксонометрическом чертежах.
В НГ точка строится по трем отрезкам, равным координатам xA, yA, zA и откладываемым по осям x,y,z или им параллельно
 
Вопрос.  Какими координатами точка А определяется на профильной плоскости проекций? 
 
1.1. xA, yA 
1.2. xA, zA 
1.3. yA, zA 
 


Упражнение 1.2. По двум проекциям А''(30,50) и A''' (70,50), заданных на фронтальной и профильной координатных плоскостях, построить горизонтальную проекцию A’(или A1)  точки А. Провести линии связи.
 
Вопрос. 
Какими координатами будет определяться искомая проекция точки? 
2.1. x, y 
2.2. x, z 
2.3. y, z 
 


Упражнение 1.3. Точка А задана своими проекциями А'' и A'''. Показаны ось  y (вертикальное ее расположение) и ось z. Расстояние между горизонтальной и фронтальной проекцией точки равно 2.5, коррдинаты Ax=1.3, Ay=2. Требуется определить координату z точки А, и соответсвенно построить оси x и y (горизонтальное направление).
 
Вопрос. Как вычеслить недостающую координату Az точки A? 

3.1. Az=Ax+Ay 
3.2. Az=2.5-Ay 
3.3. Az=2.5-Ax 
 

 


Упражнение 1.4. Задать горизонталь, фронталь или профильную прямую АВ  на К. и А. чертежах.
 
............  Вопрос. В каком случае отрезок АВ является фронталью? Точки заданы в VBS. 
4.1. Set A = p(1, 2.5, 3) 
      Set B = p(4, 0.5, 3) 
4.2. Set A = p(1, 1.5, 3) 
       Set B = p(4,  1.5, 2) 
4.3.  Set A = p(2, 2.5, 3) 
        Set B = p(2, 1.5, 2) 
 


 Упражнение 1.5. Задать горизонтально, фронтально или профильно-проецирующие плоскости на К. и А. чертежах.

............

Вопрос. В каком случае плоскость АВС будет профильно-проецирующей?

5.1. Set A = p(1, 0, 0)
       Set B = p(0, 1, 0)
       Set С = p(0, 0, 1)
5.2. Set A = p(0, 0, 1)
       Set B = p(1, 1, 0)
       Set С = p(0, 0, 0
5.3. Set A = p(1, 1, 0)
       Set B = p(0, 0, 1)
       Set C = p(0, 1, 0)



Упражнение 1.6. Задать прямую ее следами на коорд. плоскостях. Построения выполнить на К. и А. чертежах.
Точка будет в координатной плоскости, если координата, к этой плоскости не относящая, будет равна нулю
 
Вопрос. В каком случае прямая задана своими следами на коорд. плоскостях V и W? 
6.1. Set A = p(1, 1, 0) 
       Set B = p(0, 1, 1) 
6.2. Set A = p(1, 0, 1) 
       Set B = p(0, 1, 1) 
6.3. Set A = p(1, 0, 1) 
       Set B = p(1, 1, 0) 
 


Упражнение 1.7. Задать плоскость следами на К. и А. чертежах.
В общем случае уравнение плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/с=1
 
Вопрос. В каком случае плоскость ABC будет задана уравнением:  x/a+y/c=1? 
7.1. Set A = p(1, 0, 0) 
       Set B = p(0, 1, 0) 
       Set С = p(0, 0, 1) 
7.2. Set A = p(0, 0, 1) 
       Set B = p(1, 1, 0) 
       Set С = p(0, 0, 0 
7.3. Set A = p(1, 1, 0) 
       Set B = p(0, 0, 1) 
       Set C = p(0, 1, 0) 
 


  Упражнение 1.8. Задать точку M над прямой  АВ. У т. М задана координата x.
 
Вопрос. В каком случае точка М лежит над и перед прямой АВ, если известно, что конкурирующая с ней точка К на прямой имеет координаты: Kx=2.5  Ky=2.5   Kz =2 ? 
8.1. Set K = p(2.5, 2.5, 2) 
       Set M = p(2.5, 2.5, 2) 
8.2. Set K = p(2.5, 2.5, 2) 
       Set M = p(2.5, 2.5, 4) 
8.3. Set K = p(2.5, 2.5, 2) 
       Set M = p(2.5, 3.5, 3) 


Упражнение 1.9.  Задать точку K на профильной прямой  АВ. У т. К задана координата y.
 
Вопрос.  
Как будет расположена проекция т. К на фронтальной проекции, если известно, что K' на горизонтальной проекции распложена ближе к A' ? 
9.1. Посредине 
9.2. Ближе к A'' 
9.3. Ближе к В'' 


Упражнение 1.10. Задать точку К в плоскости ОП АВС. Т. К задана на xy.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежик какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, или если лежит на вырожденной проекции плоскости.
 
  ..
 
Вопрос. 
Принадлежит ли точка К плоскости на рисунках 1 и 2 в том и другом случае? На рис. 2 плоскость горизонтально-проецирующая. 

10.1. Да 
10.2. Нет 

 

 


Упражнение 1.11. В плоскости АВС провести горизонталь и фронталь. На рисунке 1 и 2 показано построение горизонтали в плоскости и, если горизонталь плоскости сделать проецирующей, то и плоскость становится проецирующей.
--->
Вопрос. 
Какое будет занимать положение горизонталь на профильно-проецирующей плоскости ? 

11.1. Горизонтально-проецирующее 
11.2. Профильно-проецирующее 
11.3. Фронтально-проецирующее 
 



 
Тема 2. Пересечение прямых и плоскостей. Многогранники. Чертеж детали 

Упражнение 2.1.  Найти точку пересечения прямой общего положения  с проецирующей плоскостью.
Вопрос.  В каком случае прямая АВ пересекается с горизонтально-проецирующей плоскостью DEF?
 
 

Упражнение 2.2. Найти точку пересечения проецирующей прямой  с плоскостью общего положения.
 
..... 
Вопрос.  
На каком из чертежей точка пересечнения проецирующей прямой с плоскостью, определена с помощью привязки ее к горизонтали плоскости?
 
 


Упражнение 2.3. Найти прямую пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения.
 
Вопрос.  
Что за линия будет в пересечении горизонтально-проецирующей плоскости EDF с плоскостью ОП ABC? 
3.1. Фронталью 
3.2. Горизонталью 
3.3. Прямой общего положения  (ОП) 
 


Упражнение 2.4. Найти точку пересечения прямой с плоскостью общего положения.
В системе "Вектор" задача решается одной командой-операцией:
Set K = PerSlinePlane (E, D, F, A, B)
 В НГ алгоритм решения задачи состоит из трех действий.
 
.....
Вопрос. 
Какое из действий будет первым?  
4.1. Определяем прямую 3-4 пересечения плоскости АВС с Q 
4.2. Прямую DF заключаем в проецирующую плоскость-посредник Q 
4.3. Пересечение прямой DF  с 3-4  определяет искомую точку K2 


Упражнение 2.5. Найти прямую пересечения 2-х плоскостей общего положения. Одна плоскость ОП задана фронталью и горизонталью, вторая  ОП параллелограммом.
На рис. задача решена в системе "Вектор", причем на втором рисунке прямая пересечения приведена в проецирующее положение, где и плоскости стали проецирующими.
 
-------->
Вопрос.  
Сколько минимальное количество раз возможно воспользоваться алгоритмом пересечения прямой с плоскостью, чтобы решить задачу?  
 


Упражнение 2.6.  Дана пирамида SABC. Найти горизонтальную проекцию точки К, лежащей на грани SAC.
 
  
Вопрос.  
Какое положение занимает основание пирамиды? 
6.1. Обшее 
6.2. Горизонтальное уровня 
6.3. Фронтальное 
 



Упражнение 2.7. Дана пирамида SABCD. Методом прямоугольного треугольника определить н.в. ребра AS.
 
 
  -------->
 
 В системе "Вектор" задача решается преобразованием ребра в проецирующее положение, та проекция, которая не вырождена, будет НВ. 
В НГ  можно воспользоваться методом прямоугольного треугольника Известно, что одним из катетов прямоугольного треугольника явялется та или иная проекция, а вторым катетом является: или разность высот, или разность глубин, или разность широт начала и конца отрезка.
 
Вопрос. 
Что будет вторым катетом прямоугольного треугольника при построении его на фронтальной плоскости проекций? 
7.1. Разность высот:zB-zA 
7.2. Разность глубин: yB-yA 
7.3. Разность широт: xA-xB 
 

Упражнение 2.8. Задать деталь в виде 2-х кубов, стоящих друг на  друге. В центре передней грани верхнего куба задать точку К.. В системе Вектор задача решается заданием 2-параллелепипедов - автоматически строится в 3-х проекциях и прямоугольной аксонометрии
 
 
Вопрос.  
К какой аксонометрической проекции построены фигуры? 

8.1. Изометрии 
8.2. Диметрии 
 


Упражнение 2.9. Построить Н.В сечения пирамиды ABCS плоскостью P (P перпенд. Н).
В системе Вектор: сначала ищется сечение, потом это сечение приводится в положение //-е координатной плоскости
 
 
----> 
Вопрос. 
К какой плоскости счение приведено в параллельной положение? 
9.1. Горизонтальной 
9.2. Фронтальной 
9.3. Профильной 
 
 



Упражнение 2.10. По 4-м точкам: три основания ABC основания и одной вершине D ребра AD, построить призму АВСDEF. В системе Вектор призма преобразована так, нижнее и верхнее основания стали параллельны координатной плосокости.
 
------> 
Вопрос. 
 Какой плоскости, после преобразования параллельны основания призмы? 
10.1. Горизонтальной плоскости 
10.2. Фронтальной плоскости 
10.3. Профильной 
 


Упражнение 2.11. Задать деталь в виде обобщенного цилиндра.
Обобщенный цилиндр получается параллельным сдвигом произвольной фигуры вдоль какой либо прямой не лежащей в плоскости фигуры. В системе "Вектор"  такой обобщенный цилиндр получен.
 
 
 Вопрос. К какой аксонометрической проекции построены обобщенный цилиндр? 

11.1. Изометрии 
11.2. Диметрии 



 Тема 3. Метрические свойства прямоугольных проекций. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Методы преобразования проекций и решение метрических задач.

Упражнение 3.1. Опустить перпендикуляр из точки на прямую-горизонталь, фронталь или профильную прямую.
Вопрос. В каком случае опущен перпендикуляр на фронтальную прямую?
 


Упражнение 3.2. Определить расстояние от точки С до проецирующей прямой  АВ.
 
Вопрос.  
Что за линией будет искомый перпендикуляр, если известно, что он опущен на горизонтально-проецирующую прямую? 
 



Упражнение 3.3. Определить расстояние от точки до проецирующей плоскости.
 
Вопрос.   
Что за линией будет искомый перпендикуляр, если известно, что он опущен на фронтально-проецирующую плоскость? (на рис. перпендикуляр проведен к горизонтальн-проецирующей плоскости)
 


Упражнение 3.4. Определить расстояние от точки  до плоскости уровня.
 
Вопрос. 
Что за линией будет искомый перпендикуляр, если известно, что он опущен на горизонтальную плоскость уровня? 

Упражнение 3.5. Опустить перпендикуляр из точки А на плоскость, заданную фронталью и горизонталью. Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. На рис. задача решена в системе Вектор командой: точка в плоскости кратчайшего расстояния от заданной. В НГ задача решается: сначала надо провести перпендикуляр к плоскости, затем найти точку пересечения, и затем только соединить ее с искомой
 
Вопрос. 
К какой линии плоскости перпендикулярно проведена горизонтальная проекция искомого перпендикуляра на пл. Н? 
 



 
 
Упражнение 3.6. Определить расстояние от точки A до плоскости ОП, заданной треугольником EDF
На рис. задача решена в системе Вектор командой: точка в плоскости кратчайшего расстояния от заданной.
В НГ задача решается в несколько этапов.
 
 
Вопрос.Какое действие должно быть первым? 
6.1. В плоскости EDF проводим горизонталь и фронталь. 
6.2. Из точки А опускаем перпендикуляр N (на горизонтальной плоскости к горизонтали плоскости, на фронтальной к фронтали плоскости) 
6.3. Определяеи искомую точку, как пересечение перпендикуляра N с плоскостью  EDF. 
 


Упражнение 3.7. Определить расстояние от точки C до прямой общего положения AB.
В системе Вектор задача решается командой: точка на прямой кратчайшего расстояния от заданной.
В НГ задача решается в несколько этапов.
 
 
Вопрос. Какое действие должно быть первым? 
7.1. Прямую AB заключаем в проецирующую плоскость Q 
7.2. Из точки С перпендикулярно прямой проводим плоскость Q (задав ее фронталью и горизонталью). 
7.3. Определяет точку K пересечения прямой  АВ с плоскость Q 
7.4. Методом прямоугольного треугольника (или каким другим способом) определяем Н.В. искомого отрезка СК 

Упражнение 3.8. В плоскости ОП АВС провести линию ската..
Известно, что линия наибольшого уклона плоскости (а линия ската является линией наибольшего уклона к плоскости Н), является перпендикуляр к той или иной линии уровня плоскости.
 
Вопрос. К какой линии плоскости линия ската проводится перпендикулярно? 

8.1. Фронтали плоскости 
8.2. Горизонтали плоскости. 
8.3. Профильной прямой плоскости 
 
 


Упражнение 3.9. Повернуть т. А  (или любой другой объект) вокруг оси координат на угол 90 градусов по часовой стрелке, направление взгляда по оси к началу СК.
Вопрос. В каком случае ось вращения горизонтально-проецирующая?


Упражнение 3.10.Определить н.в. отрезка прямой AB вращением вокруг проецирующей оси.
 
Вопрос.  
На какой из координатной плоскостей, вращением вокруг фронтальной-проецирующей оси, определена натуральная величина отрезка ? 
 
10.1. Фронтальной 
10.2. Профильной 
10.3. Горизонтальной  
 


Упражнение 3.11. Определить (показать) угол наклона плоскости к какой-либо координатной плоскости (или то же самое плоскость привести в положение перпендикулярное к координатной вращением вокруг какой-либо проецирующей осиплоскости).
 
Вопрос. К какой координатнойц плоскости опрелен угол? 
 
11.1. Горизонтальной 
11.2. Фронтальной 
11.3. Профильной 
 


Упражнение 3.12.  Определить (показать) угол наклона плоскости к коорд. плоскости (или то же самое: плоскость привести в положение перпендикулярное к коорд. плоскости).
 
Вопрос. На какой координатной плоскости плоская фигура имеет натуральную величину? 
 
12.1. На фронтальной 
12.2. На профильной 
12.3. На горизонтальной 
 



Упражнение 3.13. На примере с точкой показать алгоритм замены плоскостей проекций по схеме: x V/H -> x1 V1/H -> x2 V1/H1.
Вопрос. На каком чертеже выполнено данное преобразование?

Упражнение 3.14. Определить Н.В. отрезка ОП  АВ.
В системе Вектор, чтобы определить НВ отрезка можно через стандартные  преобразования привести в проецирующее положение, в котором и будет определена НВ отрезка.
Вопрос. Сколько преобразований нужно выполнить, чтобы в НГ решить эту задачу ЗПП? 
 



Упражнение 3.15. Определить Н.В. плоской фигуры ОП АВC.
В системе Вектор НВ плоской фигуры определяется всего одним преобразованием - на рис. плоскость приведена в положение, параллельное V.
 
 
Вопрос.  Сколько преобразований нужно выполнить в НГ, чтобы методами заменой плоскостей решить задачу?

Упражнение 3.16. Определить расстояние между параллельными прямыми ОП  KL и MN
Задача решается в несколько этапов. На рисунке показаны два этапа решения задачи в системе Вектор.
 
-------->
Вопрос.  
Сколько достаточно выполнить преобразования, при использовании метода ЗПП, чтобы построить перпендикуляр между параллельными прямыми ОП? 



Упражнение 3.17. Определить величину 2-гранного угла между двумя заданными плоскостями.
Задача решается в несколько этапов. На рисунке показаны два этапа решения задачи в системе Вектор
 
-->
 
Вопрос.  
Сколько преобразований нужно сделать, чтобы задачу решить методами ЗПП, если известно, что общее ребро 2-х плоскостей занимает ОП? 

 Тест-экзаменационный билет

Внизу идет обращение к экзаменационным блокам, где даны альтернативные ответы
Блок 1
Блок 2
Блок 3
Блок 4