НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания, варианты и образцы к самостоятельным заданиям. /Болотов В.П. , Болотова В.П., Вербаускане Н.А./ - Владивосток: ДВГМА, 2000. - 1,5 уч.-изд.л.

Пособие предназначено для практических занятий по начертательной геометрии специальности ФЭУ. Материал пособия соответствует действующей программе курса "Компьютерная  и инженерная графика" и включает разделы: комплексный и аксонометрический чертежи, позиционные и метрические задачи, графические пакеты CorelDraw и "ВекторW", а также разделы проблемной ориентации: линейное программирование и работу в системе Exel. Пособие состоит из методических указаний, вариантов и образцов заданий и является частью курса, включающего конспект лекций, сценария практических занятий, тест-контролирующих и обучающих карт, представленных в электронном виде в Интернет по адресу: www.vm..fesma.ru

Рецензент: Говорухина С.С.
доцент кафедры начертательной геометрии и графики
 

С о д е р ж а н и е

Контрольная работа 1. Построить ортогональный и аксонометрический чертежи пирамиды.
Контрольная работа 2. Найти линию пересечение двух плоскостей.
Контрольная работа 3. Построить комплексный чертеж и аксонометрию детали.
Контрольная работа 4. Построить наклонное сечение пирамиды, определить его натуральную  величину.
Контрольная работа 5. Определить ближайшую или наиболее удаленную точку от плоскости до многогранника. Вычислить максимум ЦФ. Начертить график зависимости значений ЦФ от номера точки.

Приложение
Таблица 1. Координаты  точек к заданию  1.
Таблица 2. Координаты  точек к заданию  2.
Таблица 3. Аксонометрические виды детали по вариантам к заданию 3.
                    3.1. 3 контурных вида
                    3.2. Акснометрия детали с вырезом
                    3.3. Аксонометрия детали из анимации
Таблица 4. Координаты  точек к заданию  4.

Образец 1. Комплексный и аксонометрический чертежи пирамиды (чертеж в форматах: .gif, .jpg, .cdr)
Образец 2. Пересечение плоскостей ( .gif, .jpg, .cdr).
Образец 3. Комплексный и аксонометрический чертежи детали ( .gif, .jpg, .cdr).
Образец 4. Построение сечения пирамиды и его натуральной величины ( .gif, .jpg, .cdr).
Образец 5. Преобразование проекций и график ЦФ вида: x+y+z->max ( .gif, .jpg, .cdr).

Основная надпись (угловой штамп) к оформлению чертежей ( в форматах: .gif  и .cdr).

Выполнение заданий в системе “ВекторW”


Контрольная работа 1. Построить ортогональный и аксонометрический чертежи пирамиды. Основанием пирамиды является параллелограмм, у которого три вершины и высота пирамиды заданы (табл.1).
 

Методические указания

На листе формата А2 (горизонтальная ориентация) намечаются: рамка (5 мм сверху, снизу, справа и 20 мм слева), основная надпись (габариты 185х55)  и оси координат для ортогонального и аксонометрического чертежей. Данные выбираются из табл. 1, согласно своему варианту. Заданы три точки А, В и С  3-х вершин параллелограмма - плоскости основания и высота пирамиды. Требуется построить комплексный и аксонометрический чертежи пирамиды. Для аксонометрии можно выбрать косоугольную фронтальную изометрию (фронтальная плоскость изображается без искажения), или изометрию (оси располагаются под 120 градусов друг к другу). Рекомендуется сначала построить комплексный чертеж, а затем по полученным точкам построить аксонометрический чертеж. Вот некоторые рекомендации.

1. Основанием пирамиды является параллелограмм, который строится параллельным переносом одной из сторон треугольника из начала отрезка (второй стороны треугольника) в конец. При этом надо выбрать такую сторону для переноса, чтобы параллелограмм поместился в первом октанта.

2. Из пересечения диагоналей параллелограмма восстановить перпендикуляр заданной длины. Для этого в плоскости АВСD необходимо провести горизонталь и фронталь. Можно в любом месте, главное, чтобы они принадлежали плоскости АВСD. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости. На образце горизонталь сначала проведена на фронтальной плоскости (привязана к ней двумя точками 1 и 2), а затем на горизонтальной плоскости. Фронталь сначала проведена на горизонтальной плоскости, привязана двумя точка 3 и 4, а затем на фронтальной плоскости.

Чтобы из точки пересечения диагоналей провести перпендикуляр, надо воспользоваться теоремами:
- о перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости,
- о проецировании прямого угла: прямой угол проецируется в истинную величину, если одна из его сторон  параллельно плоскости проекций.
- о построении перпендикуляра к плоскости, заданной фронталью и горизонталью: прямая а перпендикулярна к плоскости общего положения на комплексном чертеже в том случае, если ее проекции а' на горизонтальной плоскости   перпендикулярна к горизонтали  h плоскости, а на фронтальной плоскости проекция а'' перпендикулярна к фронтали f плоскости.

Если плоскость занимает проецирующее положение, то перпендикуляр проводится непосредственно к вырожденной проекции плоскости.

Если перпендикуляр занимает общее положение, то для построения перпендикуляра заданной длины, можно воспользоваться методом прямоугольного треугольника: сначала решить задачу для произвольной длины перпендикуляра (точку K - взять произвольно), а потом, когда будет определена натуральная величина выбранного отрезка АК, от точки А по его направлению построить новую гипотенузу требуемой длины.

4. Точки основания соединяем с вершиной пирамиды.

5. По методу конкурирующих точек определить видимость ребер и граней.
Из двух конкурирующих точек (1-2) на фронтальной плоскости видна та точка (соответственно ребро, грань), которая распложена ближе (смотрим на Н - координата Y у нее - больше).
Из двух конкурирующих точек (3-4) на горизонтальной плоскости видна та точка (соответственно ребро), грань, которая  расположена выше (смотрим на V - координата Z у нее - больше).
Невидимые ребра изобразить штриховыми линиями.



Контрольная работа 2. Найти линию пересечение двух плоскостей, определить натуральную величину одной из них. Данные для своего варианта взять из табл.2.
Указания к решению

1. В левой половине листа формата А3 намечаются оси координат и из табл.2 согласно своему варианту берутся координаты точек вершин треугольника.
Прямая (две ее точки) пересечения треугольников строится методом ребер (одна из сторон первого треугольника пересекается со вторым - см. упр.1,2).
Видимость сторон треугольников определяется по способу конкурирующих точек. Видимые отрезки сторон треугольников выделяют сплошными жирными линиями, невидимые - штриховыми или тонкими.

2. Плоскопараллельным перемещением треугольник АВС приводится в положение проецирующей плоскости, а затем вращением вокруг проецирующей прямой треугольник АВС приводится в положение, параллельное оси Ох (плоскости Н), что и определит его натуральную величину.
Все вспомогательные построения должны быть показаны на чертеже в виде тонких линий.

Упражнение 1. Даны: прямая АВ и плоскость DEF. Найти точку их  пересечения.
Решение задачи состоит из трех этапов:

1) Прямую АВ заключаем во фронтально проецирующую плоскость Т (на рис.1 вырожденная проекция Т'' фронтально-проецирующей плоскости Т совпадает с проекцией А''B'' прямой АВ).

2) Находим линию пересечения 1-2 пересечения проецирующей плоскости Т с АВС.

3) Пересечение прямых АВ с 1-2 (их горизонтальных проекций) определяют искомую точку К1.

Упражнение 2. Даны две плоскости  АВС и DEF. Требуется отобразить их  на комплексном чертеже и найти   линию их пересечения на  горизонтальной и фронтальной   проекциях.

Решение: дважды выполнить упражнение 1, сначала  с прямой АВ, а затем с прямой DF.

Упражнение 3. Дана плоскость АВС. Найти ее истинную величину.
Решение. Плоскопараллельным перемещением, проекции треугольника сдвигаем и поворачиваем так, чтобы в первом случае треугольник стал перпендикулярным фронтальной плоскости (горизонталь плоскости перпендикулярна фронтальной плоскости), а во втором - параллельно горизонтальной  плоскости Н (вырожденная проекция плоскости д.б. параллельна оси Ох.

 


Контрольная работа 3. По изображениям детали, сгенерированной на основе обобщенных цилиндров, построить ее комплексный чертеж и аксонометрию, выполнив соответствующие разрезы. Размеры, выдерживая пропорции, выбрать произвольно.

Итак требуется вычертить деталь в трех проекциях и в аксонометрии с соответствующими разрезами (фронтальный, профильный), проставить размеры, как это требует ГОСТ. Если деталь симметричная, разрезы делать: соединение вида с разрезом, причем разрез делается справа, а вид слева от оси симметрии, которая является границей между видом и разрезом.

Методические рекомендации при выполнении комплексного чертежа и аксонометрии
Сначала выполняется эскиз детали в глазомерном масштабе, но по всем правилам черчения и ГОСТ, а именно:

1) Главный вид (фронтальная проекция) должен иметь наибольшую информацию о детали - его габаритах, наличии мелких деталей, положении на рабочем месте, устойчивости. Если деталь круглая, то окружности в качестве главного вида не используются, т.е. ось точеных деталей на станке определяет их главный вид.

2) Вид сверху располагается под видом спереди и строго в проекционной связи, также в проекционной связи выполняются и вид слева - профильная проекция.

3) Разрезы выполняются строго по ГОСТ: например, для симметричных деталей выполняется половина вида и половина разреза, граница между которыми штрих-пунктирная  линия.

4) Простановка размеров также выполняется по ГОСТ, вот некоторые рекомендации:
- габаритные размеры ставятся на главном виде и дважды (на других проекциях) не повторяются.
- если деталь симметричная, то базой для размеров является ось симметрии, т.е. размеры ставятся вправо и влево от оси.
-  для несимметричных контуров в качестве базы выбирается основание детали и от него, как от базы отсчета, ставятся необходимые размеры. Придерживаются  следующих правил: размеры ставить так, как бы вы изготовляли деталь на токарной или резательном станках (из удобства крепить и резать).

2.2. Аксонометрическая проекция вычерчивается по ГОСТ, с  выполнением разреза (выреза) по координатным плоскостям. Существует пять аксонометрических проекций: у прямоугольной изометрии оси расположены под 120 градусов друг к другу, у диметрии (размеры по оси y меньше в два раза действительных) оси расположены: ось х - 7 градусов к горизонтали, y - 41 градус. Можно использовать косоугольную фронтальную изометрию, у которой оси Ox, OY  располагаются под прямым углом, а ось Oy под 45 к горизонтали. У этой проекция в плоскости xz или ей параллельно, формы детали изображается без искажения - не надо окружности чертить эллипсами.
Более подробно о видах, разрезах, сечениях, стандартных аксонометрических проекциях, простановке размеров читайте в учебниках по черчению, ГОСТ, а также в Интернет пособии по черчению и стандарту предприятия (www.vm.fesma.ru/V_gr_an.htm).



Контрольная работа 4. Построить наклонное сечение пирамиды, определить его натуральную  величину.

Пирамида строится по тем же данным, что и в первом задании, а секущая плоскость задана точками: p71, p72, p73. Помните, плоскость должна получится (так задано) проецирующей на ту или иную координатную плоскость.

Методические указания

1) Сначала строятся  недостающие проекции сечения пирамиды по свойству принадлежности точек ребрам пирамиды.

2) Затем методом плоскопараллельного перемещения или методом вращения вокруг следа секущей плоскости, привести сечение в положение уровня.



Контрольная работа 5. Определить наиближайшую или наиболее удаленную точку от плоскости (целевой функция - ЦФ) до многогранника (симплекса области ограничений ЦФ). Вычислить максимум ЦФ: F=x+y+z-> max. Начертить график ЦФ - зависимости  значений ЦФ от  номера точек. ЦФ: x+y+z=50 - на чертеже это плоскость -  для всех одна).
Методические рекомендации:

1) ЦФ строим, как плоскость, заданную следами уравнения в отрезках: x/50+y/50+z.5=1

2) Плоско-параллельным перемещением преобразуeм плоскость ЦФ в проецирующее положение на фронтальную плоскость проекций. Вместе с ней преобразовать в новое положение и пирамиду.

3) Определяем, какая вершина наиболее близка и какая наиболее - удалена от плоскости ЦФ.

4) Рассчитываем значения ЦФ для всех точек (координаты точек берутся из вершин исходного положения пирамиды).

5) Чертим график ЦФ: зависимости  ее значений от номера точки.
Пирамида в работе строится по данным из первого задания. Координаты точек плоскости ЦФ для всех одинаковые: p71=50.0.0., р72=0.,50.,0. p72=0.,0.,50. В электронном варианте можно посмотреть аксонометрический чертеж (изображение повернуто на 45 градусов вокруг оси Oz) и вид, на котором ЦФ стала вырожденной. На чертеже наглядно видно, какая из точек - вершин многогранника дает минимум или максимум ЦФ.  В  "Расчете ЦФ" дан протокол вычислений.

Теоретические положения

Задача линейного программирования формулируется: найти максимум линейной целевой функции (ЦФ) при линейных ограничениях. Что такое функция, что такое ограничения. В том и другом случае это комбинация переменных величин, находящихся в линейной (нет для переменных перемножения или возведения в степень) зависимости. Обычно, это выглядит так:

    F=Ax+By+Cz+.... -> min/max    (ЦФ)
    x+y+z < c1                 (1-oe ограничение)
    x > 0.                          (2-oe ограничение)
    y > 0.                          (3-oe ограничение)
    z > 0.                          (4-oe ограничение)

Ограничений имеют замечательные геометрические интерпретации. ЦФ, придав ей конкретное значение, и области ограничений являются плоскостями (в многомерном пространстве гиперплоскостями). Ограничения же высекают в пространстве многогранник, у которого ближайшая или самая удаленная точка (ее координаты) от ЦФ (плоскости) дают минимум или максимум ЦФ. Для двумерного пространства, где ограничения  (прямые линии) высекают многоугольник ограничений, а ЦФ  (при задании ее каким-то числом) явялется прямой линией.

Пусть поставлена задача линейного программирования
F=x+y -> max
11x + 8y < 880   (T)
x + 2y   < 130    (Q)
x ,y > 0
ЦФ и ограничения можно задать уравнениями в отезках и графически

x/140+y/140 =1    (F)
x/80 + y/110 = 1   (T)
x/130 + y/65 =1    (Q)
x  = 0                    (Ox)
y  = 0                    (Oy)

Линии Т, Q и оси Ox, Oy определяют многоугольник. ЦФ (на рис. отрезок Fx-Fy) при своем движение параллельно самой себе коснется многоугольника в точках самой ближайшей и самой удаленной, координаты которых и обеспечат маx/min ЦФ.

Вычисления подтверждают сказанное: Fmin=0. в точке p1, Fmax=90. в точке р3.

: p1=0.,0.   p2=75.,0.0   p3=50.,40.   p4=0.,60.
F1=x1+y1=0.0+0.0=0.       (p1)
F2=x2+y2=75.0+0.0=75.   (p2)
F3=x3+y3=50.0+40.0=90. (p3)
F4=x4+y4=0.0+60.0=60.   (p4)

Для 3-мерного пространства, когда в ЦФ и в уравнениях ограничений не две переменных, а три, все утверждения остаются в силе: целевую функцию и ограничения можно представить геометрическими образами (плоскостями), и также: ближайшая или самая удаленная точка уже на многограннике ограничений даст минимум или максимум ЦФ. Применяя способы преобразования, задача решается довольно легко - особенно в системе Вектор, в которой имеется стандартная операция преобразовать прямую (а через нее и плоскость) в проецирующее положение.

Пусть поставлена задача: F = x + y + z -> max
при ограничениях, заданных областью многогранника - пирамиды ABCDS.

Пусть (произвольно) ЦФ F=x+y+z =50 или то же самое: x/50+y/50+z/50=1,
что определяет плоскость, заданную тремя точками: p71=50.0.0., (на оси Ох), р72=0.,50.,0. (на оси Oy), p72=0.,0.,50 ( на оси Oz).

На рис.5.а ЦФ и многогранник ограничений представлены в аксонометрии.
а)                                                      б)

.......
                                            Рис. 5
Если теперь, плоскость ЦФ сделать проецирующей (перпендикулярно той или иной координатной плоскости), то получим чертеж, в котором плоскость ЦФ спроецируется в прямую линию. По чертежу (рис. 5,б) видно: какая вершина самая ближайшая, какая самая удаленная, и будет ли решение однозначным.

Расчет значений ЦФ для 32 варианта.

А(65.,40.,10.)  B(50.,50.,45.) C(20.,25.,35.) s1=45.0
: p71=50.,0.,0. p72=0.,50.,0. p73= 0.,0.,50.   - три точки плоскости ЦФ, равной 50.
D=C3+(B2-A1)=5 , 35 , 70  - 4-я точка основания пирамиды
S(57. , 3.3, 59.2)  - вершина пирамиды

s1=x1+y1+z1=115    - расчет ЦФ в 1-й точке основания пирамиды
s2=x2+y2+z2=145    - расчет ЦФ во 2-й точке основания пирамиды
s3=x3+y3+z3=80      - расчет ЦФ в 3-й точке основания пирамиды
s4=x4+y4+z4=110    - расчет ЦФ в 4-й точке основания пирамиды
s5=x55+y55+z55=119.62   - расчет ЦФ в 5-й точке (вершине пирамиды)

Максимум ЦФ s99=145 во второй точке основания пирамиды

Упражнение. Используя Exel, согласно своему варианту, постройте график зависимости значений ЦФ от номера точки.

Последовательность решения задачи:


1) Скопируйте значения ЦФ в ячейки Exel, так чтобы получить столбец. Переформатируйте значения так, чтобы десятичные от целых были отделены запятой, а не точкой:
     115   145    80    110   119,62

2) Выберите соответствующий график

3) Вычертите график на чертеже задания 5.


Выполнение заданий в системе “ВекторW”
/новое в начертательной геометрии/

Задание 1. По координатам точек основания (параллелограмма) и высоте, построить пирамиду на ортогональном и аксонометрическом чертежах.

Решение в командах системы «Вектор»

1) Задаем три точки А,В,С основания пирамиды и высоту s1
Set A = p(3,0.5,2)
Set B = p(2,2,1.5)
Set C = p(1.7,1,3.2)
S1=4.5

2) Строим параллелограмм основания пирамиды и саму пирамиду.

Parall.ss A, B, C – задание основания пирамиды,
set D = Parall.P4  - вычисление 4-й точки параллелограмма,
Pyramid.s 0, 0, 0, s1, 0 - где: 0,0,0 - точка привязки, s1 - высота, 0 – номер плоскости.
set S = Pyramid.Top ' вычисление вершины пирамиды

' Преобразовать пирамиду в вериткальное положение
PlaneTrans 0,0 '  где 0 - номер горизонтальной координатной плоскости , 0 – номер плоскости основания в структуре

Макрокоманда
Рис. 1. Полученные проекции пирамиды
Рис. 2. Пирамида после преобразования
 
Появились новые возможности: обозначение точек, цвет линий, заполнение.
Ниже представлены те же МК, но с новыми возможносями.
Макрокоманда
Рис. 1. Полученные проекции пирамиды
Рис. 2. Пирамида после преобразования



Задание 2. Найти линию пересечения 2-х плоскостей АВС и DEF.

Решение:
1) Задание точек
    Set A = P(6,4,1)
    Set B = P(5,0.5,4.5)
    Set C = P(0,4,2)
    Set D = P(2,5,4)
    Set E = P(7,1,3)
    Set F = P(1,2,0)
2) Построение треугольников (можно разными способами)

Trian.s A.x,A.y,A.z, B.x,B.y,B.z, C.x,C.y,C.z ' или   Trian.ss A,B,C
Trian.s D.x,D.y,D.z, E.x,E.y,E.z, F.x,F.y,F.z  ' или   Trian.ss D,E,F

3) Нахождение точек пересечения

Set K1  = PerSlinePlane (A, B, C, D, F)  ' Пересечение прямой DF с ABC
Set K2  = PerSlinePlane (D, E, F, A, B)  ' Пересечение прямой AB с DEF

4) Построение точек пересечения

Ngpoint.s K1.x,K1.y,K1.z  ' или   Ngpoint.ss K1
Ngpoint.s K2.x,K2.y,K2.z  ' или   Ngpoint.ss K2

otrezok.ss K1, K2 ' – построение отрезка пересечения

Макрокоманда
Рис. 1. Чертеж задачи на пересечение 2-х плоскостей
Рис. 2. Н.В. плосксти АВС (АВС // xy)
 
Появились новые возможности: обозначение точек, цвет линий, заполнение.
Ниже представлены те же МК, но с новыми возможносями.
Макрокоманда
Рис. 1. Полученные проекции пирамиды
Рис. 2. Пирамида после преобразования



Задание 3. Вычертить чертеж детали на ортогональных и аксонометрических проекциях. В системе «Вектор» задача решается с использованием геометрических примитивов: параллелепипед, пирамида, произвольный шестигранник, обобщенный цилиндр. Задавая проволочный каркас чертежа детали, автоматически получим его в трех проекциях и в аксонометрии. Затем сохраняем в формате .dxf и оформляем (простановку размеров, написи и прочее), как это требует ГОСТ, в CorelDraw или AutoCad. Можно формализовать задание форм детали в параметрическом виде, что позволит инвариантно конструировать детали.
Пример


Задание 4. Построить Н.В сечения пирамиды ABCDS плоскостью P.

Решение:

4.1. Вводим данные по пирамиде из 1-го задания и секущей плоскости точки P1,P2,P3

4.2. Строим пирамиду (см. также1-е задание)
Parall.ss A, B,C
Pyramid.s 0, 0, 0, s1, 0

4.3. Четырежды выполняем команду пересечения прямой с плоскостью.

Set K1  = PerSlinePlane (P1, P2, P3, A, S)
Set K2  = PerSlinePlane (P1, P2, P3, B, S)
Set K3  = PerSlinePlane (P1, P2, P3, C, S)
Set K4  = PerSlinePlane (P1, P2, P3, D, S)

4.4. Соединяем полученные точки отрезками

Otrezok.ss K1,k2
Otrezok.ss K3,k3
Otrezok.ss K3,k4
Otrezok.ss K4,k1

4.3. Определяем Н.В. сечения, преобразуя плоскость сечения (задав на ней треугольник через любые три точки), параллельно, той ии иной координатной плоскости
Triang.ss K1,K2,K3
PlaneTrans 0,1, где 0 – номер плоскости , 1 – номер поверхности  в структуре.

Макрокоманда
Рис. 1. Чертеж пересечение пирамиды плоскостью
Рис. 2. Н.В. сечения на  xy.
 
Появились новые возможности: обозначение точек, цвет линий, заполнение.
Ниже представлены те же МК, но с новыми возможносями.
Макрокоманда
Рис. 1. Полученные проекции пирамиды
Рис. 2. Н.В. сечения на  xy.



Задание 5.  Определить, какая из вершин пирамиды (задание 1) наиболее удалена или  близка к плоскости P(P1,P2,P3), определяемой уравнением: x+y+z=50.

Решение:

5.1. Вводим данные пирамиду из 1-го задания

Set A = p(3,0.5,2)
Set B = p(2,2,1.5)
Set C = p(1.7,1,3.2)
S1=45  - высота пирамиды

и точки плоскости ЦФ Р:

Set P1 = P(50,0,0)
Set P2 = P(0,50,0)
Set P3 = P(0,0,50)

5.2. Строим пирамиду также, как в 1-м задании.
Parall.ss A, B,C
Pyramid.s 0, 0, 0, s1, 0

5.3 Плоскость P задаем следами
Otrezok.ss P1,P2
Otrezok.ss P2,P3
Otrezok.ss P3,P1

5.4. Преобразуем плоскость Р (и соответственно все остальное) в проецирующее положение на плоскость xz. Для чего достаточно любую прямую плоскости сделать перпендикулярной (проецирующей) той или иной координатной плоскости следующей операцией:

OrtTrans 0,2 -  где 0 – означает преобразование к плоскости xy,  2 – означает, что 3-й отрезок Р3-Р1 (в структуре 2-й)

В результате получим чертеж на котором видно, какая из точек многогранника ограничений (пирамиды) наиболее удалена или наоборот близка к плоскости ЦФ Р (ее вырожденной проекции).

5.5. Вычисляем значения ЦФ в вершинах области ограничений:

FA=A.x+A.y+A.z
FB=B.x+B.y+B.z
FC=C.x+C.y+C.z
FD=D.x+D.y+D.z
FS=S.x+S.y+S.z

5.6. Строим график зависимости ЦФ от номера (как абсциссы) точек

Polyline.AddP(p(1,FA,FA))
Polyline.AddP(p(2,FB,FB))
Polyline.AddP(p(3,FC,FC))
Polyline.AddP(p(4,FD,FD))
Polyline.AddP(p(5,FD,FD))
Polyline.SaveInDoc
Polyline.Draw ъ
Макрокоманда
Рис. 1. Исходный чертеж пирамиды и плоскости в отрезках
Рис. 2. Преобразования  плоскости Р в проецирующее положение.
Рис. 3. График ЦФ: x+y+z->max

Появились новые возможности: обозначение точек, цвет линий, заполнение.
Ниже представлены те же МК, но с новыми возможносями.
Макрокоманда
Рис. 2. Пирамида после преобразования