Практика 5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ И РАСЧЕТЫ ПО НИМ

Содержание

Теоретические положения.

Упражнение 1.  Используя метод наименьших квадратов и данные пяти экспериментов (пяти точек), найти  коэффициент а уравнения y=ax, приближенно описываемое даный процесс.
Упражнение 2.  Поставить задачу по определению коэффицентов уравнения y =a*(1-b*e-k*t), если известно, что оно пригодно для расчета (экстраполяции) роста ребенка в зависимости от возраста. Данные роста в промежутке от четырех  до восьми лет известны.
Упражнение 3. В системе “Вектор” построить кривую вида: y =244,6*(1-0,71*exp(-0.051*x)). Рассчитать динамику роста человека в последующие годы t=15, 19, 24, 99, 500.
Контрольные вопросы
Упражнение 4. Найти корни следующего уравнения: 0.2*х*х+10.0*х+35. =0.
Упражнение 5. Сформировать МК построения графика вида: y=b+a*x.
Упражнение 6. Сформировать МК построения графика вида: y=b+a*x*х.
Контрольные вопросы


Теоретические положения:

Ключевые определения:
Функция. Если дано правило соответствия, относящее каждому числу х из множества этих чисел, y = f(x), то y называется функцией аргумента х. В декартовой системе координат функцию изображают графиком, где переменная х - будет абсциссой, а y - ординатой.
Аппроксимация - приближенное задание функции по заданным точкам.
Интерполяция - задание функции точно через заданные точки.
Экстраполяция - задание функции, в которой функция ищется и вне области заданных то-чек.

Статистические методы.
 
Даны замеры зависимости длины стержня (у) от температуры (х). В качестве аппроксимирующей кривой можно выбрать прямую линию y=ax, проходящую через начало координат. В уравнении неизвестным параметром является коэффициент а.   
 

Для его нахождения определим погрешности ординат замеров по отношению к ординатам точек на прямой:
 e1=y-y1,  e2=y-y2,  e3=y-y3,  e4=y-y4,  e5=y-y5.
y вычисляем по формуле у=ах, с соответствующими значениями х для точек:
e1=ах1-y1, e2= ах2-y2, e3= ах3-y3, e4= ах4-y4, e5= ах5-y5.

Необходимо, чтобы сумма отклонений (ЦФ) была минимальной:
f(x) =(ах1-y1)+ (ах2-y2)+(ах3-y3)+(ах4-y4)+(ах5-y5) -> min

Отклонения могут быть отрицательными, поэтому их берут по модулю или в квадрате (отсюда и называние - метод наименьших квадратов):
f(x) =(ах1-y1)2+ (ах2-y2)2+(ах3-y3)2+(ах4-y4)2+(ах5-y5)2.

ЦФ одномерна - зависит от одной переменной величины а.



 
Упражнение 1. Найти коэффициент а уравнения y=ax, приближенно описываемого (апроксимирующего) пять экспериментов (точек р1-р5 см. в МК kvadr.mac).  
 

Решение. В  МК - расчет ЦФ, построения ее графика, нахождения минимума ЦФ (в s99) и построения аппроксимирующей линии - отрезка прямой.

kvadr.mac - МК задания исходных 5 точек эксперимента
: p1=15.,25. p2=60.,40. p3=70.,80. p4=105.,120. p5=145.,120.
okr : p100=p1 s100=3.  $ - изображение точек через МК окружности
okr : p100=p2
okr: p100=p3
okr : p100=p4
okr : p100=p5
kvadr : s=0.  s99=999999.          $ к МК расчета коэффициента а

otrezok: x=0. y99=0.95*x  x99=x   $ построение графика
Получили минимум при s = 0.95. Уравнение прямой будет у=0.95*x
kvadr.mac
s > 1.25 ? exit
s11=(s*x1-y1)*(s*x1-y1)
s12=(s*x2-y2)*(s*x2-y2)
s13=(s*x3-y3)*(s*x3-y3)
s14=(s*x4-y4)*(s*x4-y4)
s15=(s*x5-y5)*(s*x5-y5)
s9=s11+s12+s13+s14+s15
s9 < s99 ? s99=s9
n50=s99*1000.
$ n50 <> 1311938 ? exit
otrezok: p101=p99 p102=s*100.,s9/100.
kvadr: s=s+0.05 p99=p102

otrezok.mac - МК построения аппроксимирующего отрезка прямой
x > 180. ? exit
y=0.95*x  $ функция: y=s2*x
tprin: p101=p99 p102=x,y
otrezok: x=x+20 p99=p102
 
Графическая интерпретация задачи упр.1.


Упражнение 2. Поставить задачу по определению коэффицентов уравнения y =a*(1-b*e-k*t), если известно, что оно пригодно для расчета (экстраполяции) роста ребенка в зависимости от возраста. Данные роста в промежутке от четырех  до восьми лет известны.
 
 

Возраст (годы) t
 Рост (y)
4 (t1)
103,9 (y1)
4 (t2)
111,5 (y2)
6 (t3)
117,1 (y3)
7 (t4)
122,4 (y4)
8 (t5)
128,0 (y5)
Формулируем целевую  функции вида:
    f(a,b,k) =(a*(1-b*e-kt1)-y1)*(a*(1-be-kt1)-y1)+(a*(1-be-kt2)-y2)*(a*(1-be-kt2)-y2)+...(a*(1-be-kt4)-y5)*(a*(1-be-kt4)-y5) -> min,
где t1, y1,... - данные замеров роста (y) по годам (t).

В результате построения 3-х мерной ЦФ в 4-мерном пространстве можно найти минимум ЦФ и соответствующие ему значения параметров a, b, k.
 
 
В модуле Optim системы “Вектор” определили минимум ЦФ и соответствующие ему значения параметров a=244.6, b=0.710333, k=0.052333, и соответственно получили однозначную аппроксимирующую кривую (см. рис.): y =244,6*(1-0,71*exp(-0.051*x)). 
 

Чтобы в системе “Вектор” вычислить рост в зависимости от возраста, необходимо в командной строке задать :
s=244, 6*(1.-0.71*exp(-0.051*x)) и, задавая вместо x конкретное значение возраста, получить рост ребенка.



Упражнение 3. В системе “Вектор” построить кривую вида y =244,6*(1-0,71*exp(-0.051*x)). Рассчитать динамику роста человека в последующие годы t=15, 19, 24, 99, 500. Математически это означает экстраполировать.

rost0.mac
$ x - возраст   y - рост
s1=244.6
s2=0.710333
s3=0.052333
x=1.0
y=s1*(1.-s2*exp(-s3*x))
rost : x=1.  p99=p

rost.mac
x > 25.0 ? exit
$ x - возраст   y - рост
s1=244.6
s2=0.710333
s3=0.052333
y=s1*(1.-s2*exp(-s3*x))
otrezok : p101=p99   p102=x*5.,y
rost : x=x+1.  p99=p102



Контрольные вопросы.
1.  В каком диапазоне МК rost.mac строит график?
2.  С каким шагом строится график?
3.  Какой масштаб используется по оси Ох?
4. В зависимости от какой переменной определяется рост человека?


 
 

Упражнение 4. Найти корни следующего уравнения: 0.2*х*х+10.0*х+35. =0. График данной функции на интевале - 50.0 < x < 0.- показан на рисунке.
 

kornid.mac
$ График функции F=s1*x*x+s2*x+s3
: s1=0.2  s2=10. s3=35.
x=- 50.0  $ для второго корня x = -40.
korni1: p99=x,s1*x*x+s2*x+s3 s99=1000. p98=x, y99

$ проверка (после того как нашли корни) s7, s8 д.б. близки к нулю
$ 1 корень:
  x1=-46.
s7=s1*x1*x1+s2*x1+s3 ->0.
$ 2 корень:
x2=-4.
s8=s1*x2*x2+s2*x2+s3 -> 0.
$ Вот значения ЦФ: s7=-1.8  s8=-1.8
korni1.mac
x > 0. ? exit   $ границами манипулируем
$ -50.< x < -10. - для первого корня
$ - 40. < x < 0. - для второго корня
$ График функции: F=s1*x*x+s2*x+s3
   y=s1*x*x+s2*x+s3
otrezok: p101=p99 p102=x,y $ график самой функции
p99=p102
$ определяем корни как ЦФ минимума отклонений от оси х
y < 0. ? y=-y   $  отклонения берем по модулю
y < s99 ? s99=y  $  выбираем самое минимальное отклонение
n50=s99 $  береводим в целое, отбасывая знаки после запятой
otrezok: p101=p98  p102=x, y   $ график ЦФ
p98=p102
$ n50 <> 1 ? exit
korni1: x=x+2.
 
 

График ЦФ

Определение первого корня

Второго корня
Графическая интерпретация задачи упр.4.


 
 
 
Упражнение 5. Сформировать МК расчет графика, задаваемого явным уравнением: y=b+ax
 
 

grafd0.mac
$ График функции вида: y=b+ax ( y=s1+s2*x)
: s1=20.    s2=0.5 $  s2=1.0      $ s2=1.5
graf1:  x=-50. p99=x, s1+s2*x

grafc1.mac
x > 50. ? exit
y=s1+s2*x
okr: p100=p s100=2.5
otrezok: p101=p99 p102=x,y
p99=p102
grafc1: x=x+10.



 
Упражнение 6. Сформировать МК расчет графика, задаваемого явным уравнением: y=b+a*x*х

grafd1.mac
print$on
$ График функции вида: ( y=s1+s2*x*x)
: s1=10.  s2=0.01
graf11:  x=-50.  p99=x,s1+s2*x*x

grafc2.mac
x > 50. ? exit
y=s1+s2*x*x
okr: p100=p s100=3.0
otrezok: p101=p99 p102=x,y
p99=p102
grafc2: x=x+10.



Контрольные вопросы.
1. Что означает коэффициент b в уравнениях:  y=b+ax и y=b+a*x*х ?
2.  Какой параметр является независимой переменной величиной в уравнениях: y=b+ax и y=b+a*x*х ?
3. Что является ЦФ при поиске корней квадратного (любой степени) уравнения?
4. Какие переменные в МК являются абсциссой и ординатой при построении графиков функций?