Лекция 12. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

12.1. Общий способ построения линии пересечения поверхностей
12.2. Способ секущих плоскостей уровня
12.3. Способ концентрических сфер
12.4. Способ эксцентрических сфер
12.5 Частные случаи пересечения поверхностей 2-го порядка

12.1. Общий способ построения линии пересечения поверхностей
 
 
Рис. 12.1
 
 
 
Рис. 12.2
Задача построения линии пересечения является обобщением рассмотренной в лекции 4 задачи на построение линии пересечения 2-х плоскостей методом секущих плоскостей. 
Общий способ построения линии пересечения 2-х поверхностей заключается в том, что поверхности пересекаются рядом вспомогательных плоскостей или поверхностей, называемых посредниками, которые в пересечении с данными поверхностями дают общие точки. (Рис. 12.1
В качестве посредников применяются плоскости и сферические поверхности (могут использовать и другие поверхности). 
При этом посредниками следует выбирать те, которые пересекали бы заданные поверхности    F, Y (см. рис. 12.2) по простым линиям - прямым или окружностям.
 
 
Рис. 12.3
Задача упрощается, если одна из поверхностей является проецирующей. В этом случае одна из проекций линии пересечения имеется (линия 1-7) и решение задачи сводится к задаче на принадлежность точки поверхности. 
В тех случаях, когда поверхность занимает проецирующее положение на 3-й проекции или дополнительной, при замене необходимо использовать эти проекции и решать задачу на пересечение, как задачу на принадлежность. 
При построении линии пересечения важно построить опорные точки (высшую и низшую, ближнней и дальнюю, правую и левую точки видимости). Линия пересечения видима, если она находится на видимой стороне каждой из них. (Рис. 12.3
Промежуточные точки строятся по мере необходимости построения плавной кривой пересечения.


12.2. Способ секущих плоскостей уровня

На рис. 12.4 показано построение линий 1-8 (рис. 12.4, а) и линии 1-10 (рис. 12.4, б) пересечения конуса и шара. Обе поверхности в горизонтальных плоскостях Si содержат окружности, которые, находясь в одной плоскости, пересекаются и образуют общие точки линии пересечения.
 

а)
б)
Рис. 12.4

На рис. 12.4, а фронтальные плоскости симметрии конуса и шара совпадают и лежат в одной плоскости V0. Плоскость V0 рассекает конус и шар по очерку, который изображен на плоскости V.

Точки 1, 2 пересечения очерков являются высшей и низшей. Точки 7, 8 также являются характерными, они самые крайние справа. Эти точки определены при помощи вписанной в конус сферы, которая пересекает конус и сферу по окружностям (на V - прямые линии)  9-1011-I2         (см. далее метод сфер).

Точки 3-4 - точки границ видимости.

На рис. 12.4, б оси симметрии конуса и шара лежат в разных плоскостях уровня V0, V01. Опорные точки 1, 2, лежащие на очерке конуса на плоскости V, определяются при помощи плоскости V01, которая пересекает шар не по очерку, а по окружности малого круга. Опорные точки 9, 6, лежащие на очерке шара в плоскости V01, которая пересекает конус по гиперболе (на рис. - штриховая линия), определены в пересечении очерка сферы и гиперболы - сечение конуса плоскостью V01'.

Характерными являются точки 3, 4 пересечения большого круга шара и большого круга конуса, которые лежат в плоскости Q, проходящей через их центры. Определяя н.в. этих сечений заменой плоскостей проекций V1 || Q (х1 || Q'), определили точки 3, 4, которые являются наивысшей и наинизшей линии пересечения поверхностей.


12.3. Способ концентрических сфер
 
 
Рис. 12.5
Иногда в качестве посредников удобнее использовать сферы. 
Этот способ возможен, когда оси поверхностей вращения пересекаются и параллельны плоскостям проекций. 
Способ основан на следующем: если тело вращения пересекается шаром, центр которого расположен на оси тела, то в сечении получается окружность, причем плоскость окружности перпендикулярна оси тела. Если ось тела вращения параллельна плоскости проекций, окружность проецируется на эту плоскость в виде отрезка прямой. (Рис. 12.5
Таким образом, сфера, центр которой совпадает с точкой пересечения осей двух поверхностей вращения, пересекая каждую поверхность по окружности. Эти окружности, проецируясь в отрезки прямых, пересекаются друг с другом в точках, принадлежащих линии пересечения поверхностей. При этом наименьшей сферой будет сфера, касающаяся обеих поверхностей или касающаяся одной поверхности и пересекающая другую.

Пример. Определить линию пересечения 2-х конусов (рис. 12.6, а). Обе поверхности пересекаются вспомогательными сферами, центры которых лежат в пересечении осей конусов. Каждая введенная сфера пересекает заданные поверхности по окружностям. Проекции этих окружностей на плоскость V - отрезки прямых ( и CD). Пересекаясь, эти прямые определяют проекции точек линии пересечения, например точки 12, 10 (ближнюю и дальнюю).
 

а)
б)
Рис. 12.6

Проводя вспомогательные сферы разных радиусов, можно получить какое угодно число точек линии пересечения. Горизонтальная проекция линии пересечения определяется по свойству принадлежности.



 
12.4. Способ эксцентрических сфер

Состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры.
 
 
Рис. 12.7
Пример (рис. 12.7).                                                                 Построить линию пересечения кругового кольца с конусом. 
Плоскость Р пересекает кольцо по окружности АВ с центром в точке С, лежащей на осевой кольца. Предположим, что окружность АВ является малым кругом какой-то сферы. Центр этой сферы О должен лежать на прямой, перпендикулярной к плоскости Р и касательной к осевой кольца. Этот центр определяется в пересечении с осью конуса. 
Проведя сферу из центра О1 радиусом О1В1, получим линию пересечения сферы с конусом (линия ). В пересечении линий DE и АВ определяется точка искомой линии пересечения конуса и тора. 
Используя серию плоскостей Pi , проходящих через центр кольца, можно получить сколько угодно точек линии пересечения конуса и тора. Опорные точки 1, 2 определены в пересечении очерков. Горизонтальная проекция линии пересечения построена по свойству принадлежности. 


12.5. Частные случаи пересечения поверхностей 2-го порядка

При определенных условиях линия пересечения поверхностей может распадаться на более простые линии. Условия, при которых это происходит, для поверхностей 2-го порядка формулируются теоремой Монжа.

Две поверхности 2-го порядка, описанные вокруг третьей поверхности 2-го порядка, пересекаются между собой по двум кривым 2-го порядка.

В этом случае пространственная кривая распадается на две плоские кривые. На рис. 12.8 приведены примеры пересечения цилиндров, цилиндра и конуса, конусов, в которые вписан шар.
 

Рис. 12.8