Тема 3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ

С о д е р ж а н и е
3.1. Взаимное положение двух точек
3.2. Взаимное положение точек и прямой
3.3. Взаимное положение двух прямых
3.4. Прямая в плоскости
3.5. Главные линии плоскости
Упражнение. В горизонтально-проецирующей плоскости, заданной ее вырожденной проекцией провести все три линии уровня.
 

Задачи, в которых определяется взаимное положение фигур относительно друг друга, называются позиционными. К ним относятся задачи на взаимопринадлежность (задать точку на линии или плоскости, провести прямую в плоскости и т.п.) и задачи на пересечение (найти точку пересечения прямой с плоскостью, линию пересечения двух плоскостей. Кроме перечисленных задач при компьютерном моделировании геометрических форм возникают и новые задачи из теории множеств типа найти  пересечения (форму) двух и более объектов, разность, объединение.

3.1. Взаимное положение двух точек

Две точки пространства могут совпадать или не совпадать. Если две точки совпадают, то совпадают и их проекции. Если же точки не совпадают, то их проекции различны или, по крайней мере, не должна совпадать одна пара (из двух пар) их  проекций.
 
а)
б)
в)
Рис. 1. Взаимное положение точек: а) точки совпадают, б) точки общего положения, в) профильные точки

Конкурирующими называют точки, расположенные на одной проецирующей прямой. Признак: проекции этих точек совпадают в одну точку на той плоскости, к которой их носитель (проецирующая прямая) перпендикулярна. При определении видимости используют критерии видимости конкурирующих точек: из двух горизонтально-конкурирующих точек видна та, которая выше; из двух фронтально-конкурирующих точек видна та, которая ближе; и из двух профильно-конкурирующих точек видна та точка, которая левее.
 

Горизонтально-конкурирующие точки 

 

Фронтально-конкурирующие точки 

 

Профильно-конкурирующие точки

 
 

3.2. Взаимное положение точек и прямой

На рис. т. А лежит на прямой, так как выполняется свойство принадлежности, т.е. A' принадлежит m' и A' '  принадлежит m'', и свойство существования - обе проекции A' и A'' находятся на одной линии связи.
 


Точки В, С (C' лежит на m", а C" -  на m'), и D  не лежат на прямой m. Точка В находится над прямой m, точка С  под прямой, точка D  - над и перед прямой m.


 3.3. Взаимное положение двух прямых

1. Прямые могут пересекаться: у них одноименные проекции попарно пересекаются K' = l' *t', K'' = l'' *t'', а точки пересечения K', K'' лежат на одной линии связи.
2. Прямые параллельны, если они не имеют общей точки. Признак: их проекции попарно параллельны l' // t' и  l'' // t'' по свойству параллельности.
 
а)
б)
с)
3. Прямые скрещиваются, если они не параллельны и не пересекаются. На чертеже точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. В частности, на одной плоскости проекций проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны.
4.  Прямые совпадают, если совпадают попарно их проекции на каждой плоскости проекций.
 
а)
б)
в)
д)
 

Примечание. Для определения взаимного положения профильных прямых следует построить профильные проекции данных прямых.


3.4. Прямая в плоскости

Прямая лежит в плоскости, если две точки этой прямой принадлежат плоскости.
 
а)
б)
 

Рис.  а) прямая а принадлежит плоскости общего положения, б) прямые b принадлежат фронтально-проецирующей плоскости Q (Q'')

3.5. Главные линии плоскости

1. Горизонталь плоскости - прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис.а).
2. Фронталь плоскости -  прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. б).
3. Профильная прямая плоскости - прямая, лежащая в плоскости  параллельно профильной плоскости проекций (рис.в).
 
б)
б)
 
в)
Рис. Прямые уровня: а) горизонталь, б) фронталь, в) профильная прямая

При построении главных линий плоскости используют особенности расположения проекций этих линий относительно осей проекций. При построении, например, горизонтали сначала проводят  фронтальную проекцию h''   параллельно оси Ox.
Примеры использования линии уровня (горизонтали): а) для построения линии ската в плоскости и б) построения плоскости Q перпендикулярной плоскости Q (причем Q еще перпендикулярна и H).

 а)      б)
 

 
 
Рис. Примеры использования линии уровня (горизонтали): а) для построения линии ската в плоскости крыши и б) построения плоскости Q перпендикулярной горизонтальной плоскости.

Линией ската называется прямая плоскости, перпендикулярная горизонтальной линии  плоскости (она же  перпендикулярна горизонтальному следу плоскости - горизонтали плоскости с нулевой высотой), называется линией ската. Линия ската определяет наибольший угол всех линий плоскости к горизонтальной плоскости и ее еще называют линией наибольшего уклона. По аналогии можно построить линии наибольшего уклона к фронтальной и профильной плоскости проекций. Для построения данных линий необходимо знать теорему о проецировании прямого угла (см. лекцию 1 тему  "Перпендикулярность").

Примечание. В любой плоскости частного положения также можно провести главные линии плоскости, при этом линии будут занимать частное положение.



Упражнение. В горизонтально-проецирующей плоскости, заданной ее вырожденной проекцией провести все три линии уровня.