Лекция 2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЯМЫХ, ПЛОСКОСТЕЙ И МНОГОГРАННИКОВ

С О Д Е Р Ж А Н И Е
1. Прямые
1.1. Задание прямой.
1.2. Прямые общего положения
1.3. Прямые частного пложения
1.3.1. Прямые уровня
1.3.2. Проецирующие прямые
2. Плоскости
2.1. Задание плоскостей
2.2. Положение плоскостей в системе координат
2.2.1. Плоскости общего положения
2.2.2. Проецирующие плоскости
2.2.3. Плоскости уровня
3. Многогранники
4. Примеры построения многогранных поверхностей
4.1. В перспективных проекциях системы Careldraw
4.2. Практические примеры получения сечений куба плоскостями частного положения
Упражнение. Построить третью проекции 4-гранника АВСД

1. Прямые

1.1. Задание прямой

Прямая линия определяется двумя точками, а ее проекции - проекциями этих точек.
 

1.2. Прямые общего положения

Прямая  не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.
Прямая восходящая - ее признаком является одинаковое направление проекций прямой относительно оси х, а нисходящей -  разное
Прямая общего положения нисходящая - у нее одинаковое направление проекций прямой относительно оси z, а у восходящей -  разное
 
а)
а)
б)
б)
Рис. 1. Прямые общего положения: а) восходящая, б) нисходящая на наглядном и комплексном чертежах
 
 
 
Рис.2 Прямая задана точками (следами) пересечения с координатными плоскостями (рисунки получены в системе  CG-Вектор)
 

1.3. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Прямые параллельные или перпендикулярные координатным плоскостям проекций называются прямыми частного положения. Они делятся на: ПРЯМЫЕ УРОВНЯ- прямые параллельные координатным плоскостям проекций и на ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ - это прямые перпендикулярные координатным плоскостям проекций.

1.3.1. ПРЯМЫЕ УРОВНЯ

ГОРИЗОНТАЛЬ (h // H)
 
 
ФРОНТАЛЬ (f // V)
 
 
 

ПРОФИЛЬНАЯ ПРЯМАЯ (P // W)
 
 

1.3.2. ПРОЕЦИРУЮЩИЕ   ПРЯМЫЕ

Прямые перпендикулярные к какой-либо координатной плоскости называются проецирующими прямыми.
Они делятся на горизонтально-проецирующие, фронтально-конкурирующие, профильно-проецирующие. Проецирующие прямые имеют два важных свойства: во первых они параллельны двум координатным плоскостям и значит на эти плоскости они проецируются в натуральную величину; и второе - на плоскость к которой они перпендикулярны они проецируются в точку (вырождаются в точку, собирают все точки в одну точку), что упрощает решение многих задач встречающихся в начертательной геометрии и, соответственно, в практике задач.

ГОРИЗОНТАЛЬНО - ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ
 
 

ФРОНТАЛЬНО - ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ
 
 
ПРОФИЛЬНО - ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ
 
 
 
 


2. ПЛОСКОСТИ

2.1. Задание плоскостей

Плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. На ортогональном чертеже плоскость может быть задана тремя точками, двумя пересекающими прямыми, двумя параллельными прямыми, прямой и точкой, плоской фигурой

2.1.1. ПЛОСКОСТЬ ЗАДАНА ТРЕМЯ ТОЧКАМИ
 
 
 
 

2.1.2. ПЛОСКОСТЬ ЗАДАНА ДВУМЯ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
 
 
 

2.1.3. ПЛОСКОСТЬ ЗАДАНА ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ
 
 
 
2.1.3. ПЛОСКОСТЬ ЗАДАНА  ПРЯМОЙ И ТОЧКОЙ
 
 

2.1.4. ПЛОСКОСТЬ ЗАДАНА  ПЛОСКОЙ ФИГУРОЙ (ТРЕУГОЛЬНИКОМ)
 
 
 2.1.5. ПЛОСКОСТЬ ЗАДАНА  СЛЕДАМИ (ЛИНИЯМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРОЙ С КООРДИНАТНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ)
 
 
Задание плоскости прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций, называется заданием плоскости следами. Такое задание дает прямую связь с аналитическим ее заданием (непосредственно алгоритмом для ЭВМ), поэтому остановимся на этом более подробно.
Точки пересечения следов по осям x, y, z называются точками схода следов плоскости. Расстояния от точек схода следов до начала координат называются параметрами плоскости. Каждый след плоскости определяется двумя параметрами и, следовательно, два следа плоскости определяют три ее параметра, т.е. положение в пространстве.

 Плоскость, заданная прямя параметрами (тремя числами), имеет аналог аналитического задания. Так, например, плоскость Q (20,14,16) (рис. в) определяется уравнением: x/a+y/b+z/c=1 или  x/20+y/14+z/16=1, подобно тому, как  прямая задается  на плоскости уравнением: x/a + y/b = 1.  В том и другом случае уравнения называются уравнениями (плоскости, прямой) в отрезках. В частных случаях, когда прямая или плоскость параллельна той или иной оси (а для плоскости и двум осям), слагаемые в уравнениях с этой осью (осями) отсутствуют.


2.2. ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Различают восходящие и нисходящие плоскости общего положения. При обходе проекций вершин в одном и том направлении у восходящей плоскости вершины располагаются на обеих проекциях одинаково, а у нисходящей - различно. При этом восходящую плоскость иногда называют односторонне видимой (на той и другой плоскости проекций видим одну сторону плоскости), нисходящую плоскость - двусторонне видимой. Плоскость общего положения, заданная следами, имеет три следа. Все следы наклонены к осям проекций.

Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций, называется проецирующими. Различают: горизонтально-проецирующие, фронтально-проецирующие, профильно-проецирующие. Проекции всех точек проецирующей плоскости и всех линий плоских фигур, лежащих в ней, принадлежат вырожденной проекции (следу) плоскости, к которой она перпендикулярна. Это является важным свойством при решении многих задач начертательной геометрии.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Различают: Горизонтальная плоскость уровня ( G//H), фронтальная плоскость уровня (F//V), профильная плоскость уровня (P//W).

Плоскости уровня одновременно перпендикулярны к двум плоскостям проекций, обладают свойствами проецирующих плоскостей и своими, все плоские фигуры, лежащие в ней проецируются на координатную плоскость к которой они параллельны в натуральную (конгруэнтную) величину. Задавать (перезадавать) наиболее удобно плоскость общего положения  треугольником, а плоскости частного положения - их вырожденными проекциями.


2.2.1. Плоскости общего положения

ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ВОСХОДЯЩАЯ
 
 
ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ НИСХОДЯЩАЯ
 
 

2.2.2. ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ (заданы вырожденными проекциями)
 
 
 

2.2.3. ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ (заданы вырожденными проекциями)
 
 


 3. МНОГОГРАННИКИ

Многогранник - пространственная фигура (трехмерное тело), ограниченное конечным числом плоских многоугольников (многогранной поверхностью). Многоугольники называются гранями, стороны многоугольников - ребрами, вершины - вершинами многогранников.

Существуют многогранники и как тела (в 4-хмерном пространстве они называются гиперплоскостью), которые могут определены как твердые (твердотельная геометрия). Нас пока интересуют только многогранники как поверхности.

Наиболее простыми многогранными поверхностями являются пирамида, куб, призма и т.д. Построения таких фигур сводится к построению проекций точек (вершин) и  отрезков (ребер).

Важным является определение видимости ребер таких фигур, которая определяется по следующему правилу: на фронтальной плоскости проекций видим то ребро которое ближе к нам (это положение просматривается на горизонтальной проекции); на горизонтальной проекции видим то ребро, которое выше (смотрим на предмет сверху и это просматривается на фронтальной проекции). Для более строго определения видимости, необходимо использовать алгоритм конкурирующих точек (см. следующую тему).
 
 
 
 



 

4. Примеры построения многогранных поверхностей

4.1. В перспективных проекциях системы Careldraw


 

4.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГОГРАННИКА (КУБА) ПЛОСКОСТЯМИ ЧАСТНОГО И ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЙ

Горизонтально-проецирующие плоскости

Фронтально-проецирующие плоскости
  


Упражнение. Построить третью проекции 4-гранника АВСД.
Как строить третью проекцию точки, есть два два способа:
 
1) при помощи координатных осей и линий связи, наглядно устанавливающих связь между всеми тремя проекциями фигуры; 
  
 
2) при помощи циркуля-измерителя (или линейкой), пользуясь которым можно строить третью проекцию, откладывая заданные размеры относительно ее осей.  
 
 

На рис. задача решена первым способом: выбрана система координат (построены оси); третья проекция построена по линиям связи.

Наглядный чертеж построен в косоугольной изометрии, где фронтальная (вторичная) проекция совпадает с фронтальной проекцией на ортогональном чертеже.

Построение осуществляется с помощью откладывания  координат y каждой точки по прямым параллельно оси y. 

Видимость на ортогональном чертеже определяется по принципу: на плоскости H видим то ребро(смотрим на V), которое выше;  на V видим то ребро которое ближе (смотрим на Н), на W видим то ребро которое левее (смотрим на V).
В аксонометрии видим то, что ближе (объект с осями расположен перед наблюдателем.