Лекция 1. Метод проекций

1.1. Основные теоретические положения

Метод проекций - отображение геометрической фигуры на плоскость путем проецирования ее (фигуры) точек. Проецированием называется процесс построения изображения с помощью проецирующих прямых.

Проекцией т. А называется т. А'  пересечения проецирующей прямой с плоскостью изображения. (рис. 1.1, а). Если все проецирующие прямые проходят через одну точку S (центр проекций) пространства (рис. 1.1, б), то проецирование называется центральным (перспективным), если проецирующие прямые параллельны (рис. 1.1, в), то проецирование называется параллельным.

В зависимости от направления проецирующих прямых по отношению к плоскости проекций параллельные проекции делятся на прямоугольные - проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекции (рис. 1.1, г) и косоугольные - проецирующие лучи наклонны к плоскости проекций (рис. 1.1, д).
 
 а)
 б)
 в)
 
 г)
 д)
 
Рис. 1. 1. Проецирование точки на плоскость: а) как пересечение проецирующего луча с плоскостью, б) центральное проецирование, в) параллельное проецирование, г) ортогональное (прямоугольное) проецирование и д) косоугольное проецирование.

Основные свойства параллельного проецирования. В общем случае геометрические фигуры проецируются на плоскость с искажением. Однако некоторые инвариантные (независимые) свойства оригинала сохраняются (табл. 1.1). Например, для ортогонального проецирования существует теорема о проецировании прямого угла:
 
Теорема о проецировании прямого угла. Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая неперпендикулярна этой плоскости.  
 
Таблица 1.1. Основные свойства параллельного проецирования
1. Свойство однозначности. 
Проекция точки есть точка. 
2. Свойство прямолинейности. 
Проекция прямой есть прямая. 
 
3. Свойство принадлежности. 
Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.
4. Свойство параллельности. 
Проекции взаимно параллельных прямых также параллельны. 
5. Свойство пропорциональности. 
Отношение отрезков одной прямой или расположенных на параллельных прямых равно отношению их проекций.
6. Свойство конгруэнтности. 
Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную (равную) фигуру. 
7. Свойство переноса. 
Параллельный перенос оригинала или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекций оригинала.
Рассмотренные свойства проецирования и их свойства решают задачу определения проекции оригинала, но не дают возможности воспроизвести его по одной проекции. Для того, чтобы получить чертеж, обладающий свойствами обратимости, необходимо иметь, по крайней мере, две связанные между собой проекции. Обратимостью обладает ортогональный (комплексный) чертеж: геометрическая фигура, отображенная прямоугольным проецированием на взаимно-перпендикулярные плоскости и совмещенная затем с плоскостью чертежа. Такие проекции называются ортогональными, а метод их получения методом ортогональных проекций.

Пространственной моделью трехмерного пространства, чаще всего, выбирают прямоугольную (декартову) систему координат, состоящую из трех взаимно-перпендикулярных плоскостей (рис. 1.3, а). Координатные плоскости делят пространство на восемь частей - октантов. Плоскости H, V, W называются, соответственно, горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостями проекций. Ось Х - ось абсцисс, Y - ось ординат, Z - ось аппликат, т. О - начало координат. Положение т. А определяется тремя координатами x, y, z (ширина, глубина и высота). Точки А', A'', A''' - горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки. Прямые АА', AA'', AA''' - проецирующие прямые (лучи), они перпендикулярны, соответственно, плоскостям проекций.

 
а)
б)
в)
г)
Рис. 1. 4. Последовательность получения комплексного чертежа в начертательной геометрии: а) привязка точки к декартовой (прямоугольной) системе координат (трем взаимно перпендикулярным плоскостям), б) получение плоской модели, в) три проекции точки и даже две (д) определяют точку.

Плоскостная модель, или комплексный чертеж (эпюр), точки получается путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций. Изображение точки на плоскостной модели называют комплексным чертежом (эпюром) точки. Отсюда:
1. Положение точки в пространстве вполне определяется двумя проекциями.
2. По двум любым проекциям точки можно построить третью.

Точка может занимать различные положения, т.е. лежать в любом октанте, в любой координатной плоскости. Проекционная связь позволяет графически находить третью проекцию точки по двум заданным. При этом необходимо помнить, что:
А' (буквенное обозначение с одним штрихом) соответствует ее положению в координатной системе (x, y) плоскости H; А'' (буквенное обозначение с двумя штрихами) соответствует ее положению в координатной системе (x, z) плоскости;
А''' (буквенное обозначение с тремя штрихами) соответствует ее положению в координатной системе (y'z - ось y' - расположена горизонтально) плоскости W.
 
 
 
а)
б)
в)
 
Рис. 1. 5. а) пример моделирования точки в декартовой системе координат в системе CG-Вектор и детали: б) из простанства на коорднатные плоскости и в) комплексный чертеж детали
 

Наглядный (аксонометрический) чертеж - это изображение, полученное параллельным проецированием фигуры вместе с осями на некоторую плоскость К так, чтобы ни одна из осей не совпадала с направлением проецирования, называется аксонометрией. Выбор плоскости и направления проецирования (прямоугольное или косоугольное) S  может быть произвольным: можно получить сколько угодно видов аксонометрий. При этом аксонометрические проекции делятся на прямоугольные ( S перпендикулярна K) и косоугольные ( S не перпендикулярна K). Из стандартных (ГОСТ 2.311-68) аксонометрий наиболее простой в построении является косоугольная изометрия. Аксонометрическая плоскость у нее (рис. б) совпадает с фронтальной плоскостью прямоугольной системы координат, но направление проецирования не совпадает с x,y,z, как это наблюдается в ортогональном проецировании. В косоугольной изометрии плоские фигуры (в частности, и окружности), параллельные плоскости V, изображаются в натуральную величину. Поэтому для простоты построения (и перехода от ортогонального чертежа к аксонометрии) в дальнейшем будем чаще использовать данную аксонометрическую проекцию. Аксонометрические проекции обладают свойствами параллельности, пропорциональности и т.д. Например, надо помнить, что, если отрезки прямых в пространстве параллельны осям координат, то и в аксонометрических проекциях они изображаются также параллельными осям координат.
 



В системах 3D Studio Max, VectorW и им подобных, появляются новые возможности - работать сразу в нескольких окнах, в которых можно расположить тот или иной вид: стандартные и аксонометрию (или перспективу).
Ниже приведены рисунки видов, полученных в системе ВектоW и чуть обработанных в Photoshop.

Рис. 1.7. Четыре вида первого октанта в 4-х окнах системы "Вектор"
 

Рис. 1.8. Тоже что и на рис. 1.7, но для наглядности  модель трехмерного пространства на каждом окне (виде) чуть повернута

Рис. 1.9. Здесь в 4-х окнах изображены 4-ре вида восьми октантов (полупространств) 3-мерного пространства


Пример 1. Построить наглядное изображение и комплексный чертеж (эпюр) точки А (25,15,35).

Решение. Из вышеприведенных моделей наглядного и комплексного чертежей отмечаем:
- ордината х точки А равна 25 и она должна откладываться по оси х или по параллельному ей отрезку,
- абсцисса точки А равна 15 и она должна откладываться по оси y или по параллельному ей отрезку и
- аппликата (высота) z точки А равна 35 и она должна откладываться по оси z или по параллельному ей отрезку.

При этом проекциями будут:
горизонтальная - А'(x,y)=A'(25,15),
фронтальная - А''(x,z)=A'(25,35),
профильная - А'''(y,z)=A'''(15,35).

На наглядном изображении (фронтальной изометрии) ось z располагаем вертикально, ось x - горизонтально, а ось y  - под углом 45 (рис.а). Оси x,y определяют горизонтальную плоскость H (и, соответственно, точки с координатами x,y); xz - фронтальную плоскость, и yz - профильную плоскость W.

При построении точки А (в пространстве) и ее проекций (A', A'', A''') откладываем по осям x,y,z (или параллельно им) отрезки, равные координатам x,y,z, т.е, например, OAx=x=25; AxA'=y=15; A'A=z=35.

При этом проекция А' на аксонометрическом чертеже называется вторичной проекцией точки А, и ее построение является обязательным. Вторичной проекцией точки А может быть выбрана также или фронтальная (A''), или профильная проекции.

Ортогональный (эпюр) или комплексный чертеж точки выполняется на плоскостной модели трехмерного пространства:
- по оси х от начала системы координат в положительном направлении откладываем ординату x (ОАx = x = 25),
- далее проводим вертикальную линию связи (перпендикулярно оси х), вверх от точки Ах откладываем аппликату z ( AxA''=z=35),
- а вниз от точки Ах ординату y (АxA' = y= 15).

Профильная проекция А''' строится по правилу построения третьей проекции по двум заданным и заключается в том, что профильная проекция связана с фронтальной проекцией всегда по горизонтальной линии связи (линия параллельная оси х), а расстояние A'''Az положение точки на третьей проекции от оси z равно ординате у (на чертеже определяется отрезком А'Ax)  т.е.  A'''Az=А'Ax=y=15.

Вообще построение трех проекций точки на комплексном чертеже может быть разным, но во всех случаях надо помнить, что горизонтальная и вертикальные проекции связаны между сбой вертикальными линиями, а фронтальная и профильная проекции горизонтальной линией.

Горизонтальная проекция определяется координатами у (ось y расположена вертикально), фронтальная проекция определяется координатами x, z, а профильная - у'z (ось y' отличается от y тем, что она располагается горизонтально и по величине они равны между собой: y'=y).

При этом надо помнить, что на комплексном чертеже самой точки А нет, а есть только ее проекции А',А'',А'''; на наглядном же чертеже  изображается и оригинал (т. А), и ее вторичная (на той или иной координатной плоскости) проекция.

Часто встречающееся затруднение - построение точки, у которой координаты являются отрицательными величинами или равны нулю. В этом случае необходимо внимательно откладывать ординату по нужному направлению (отрицательному или положительному) от начала координат или вообще не откладывать, если она равна нулю.

Правила же связи, что фронтальная проекция связана с горизонтальной проекцией по вертикальной линии и фронтальная с профильной по горизонтальной линии, остаются. Проекции точки обозначаем даже в том случае, если они совпадают друг с другом. Так, например, проекции Т',T'',T''' точки Т(0,0,0) на ортогональном чертеже совпадут с т. О начала системы и должны быть обозначены как Т'=T'=T'''=О.