Брахистохрона

Если начальная и конечная точки движения одинаковы, то поскольку прямая
есть кратчайшее расстояние между ними, то можно было бы думать, что движение,
совершающееся по ней, требует наименьшего времени. На самом деле это не так.
Г. Галилей

Невозможно отрицать глубокое значение, какое имеют точно поставленные проблемы
для продвижения математической науки.
Д. Гильберт

Страницы 1— 4

С 1682 года стал выходить в свет первый научный журнал — «Акта Эрудиторум». В июньском номере этого журнала за 1696 год была помещена заметка знаменитого швейцарского ученого Иоганна Бернулли с интригующим заглавием: «Новая задача, к решению которой приглашаются математики».

Часто случается, что постановка новой проблемы привлекает внимание многих выдающихся ученых. Соревнуясь друг с другом, они создают мощные методы решения задач, которые потом щедро служат науке. Так вышло и с задачей И. Бернулли. Вот как формулирует ее сам автор.
 
В вертикальной плоскости даны точки А и В (рис. 1). Определить путь АМВ, спускаясь по которому под действием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, достигнет точки В в кратчайшее время.

Ставя свою задачу, И. Бернулли не упоминает Галилея. И напрасно! Все современное естествознание «вышло» из Галилея. И дело не только в том, что он открыл основополагающие законы механики. Величайшая заслуга Галилея перед человечеством в том, что он первым стал спрашивать у Природы. Нынешний этап развития науки начался в тот момент, когда Галилей поднялся на пизанскую башню для того, чтобы спросить у Природы о ее законах падения тел.

Галилей проводил эксперименты с наклонными плоскостями. По-видимому, он ставил также опыты и на круговых желобах. Вот что пишет он в «Беседах о механике» — главном труде всей своей жизни: «Тела, опускающиеся по дугам, соответствующим хордам, наклоненным к горизонту..., совершают движение, как показывает опыт, также в равные промежутки времени и притом меньшие, нежели движение по хордам». Из двух утверждений Галилея относительно движения по дугам верно лишь одно: движение по дуге быстрее, чем по хорде. Второе же утверждение — относительно равенства промежутков времени - верно лишь приближенно, и этот факт впоследствии теснейшим образом оказался связанным с задачей И. Бернулли.

Но так или иначе и приведенные выше слова Галилея, и его слова, взятые нами в качестве эпиграфа, сразу наталкивают на вопрос И. Бернулли: какая же кривая соответствует кратчайшему времени движения, т е. какая же кривая является брахистохроной (по-гречески — наибыстрейшей)? Многие авторы упрекают Галилея в ошибке, утверждая, что он считал брахистохроной дугу окружности. В «Беседах» Галилей несколько раз возвращается к теме о сравнении движения по окружности и хорде, но ни в одном месте его слова нельзя истолковать так, что движение по дуге окружности — самое короткое среди всех кривых, соединяющих две заданные точки. Впрочем, может быть, какие-то его слова ускользнули от нашего внимания.

Однако пришло уже время вернуться к предмету нашего рассказа. Многие математики откликнулись на «приглашение» И. Бернулли. Одним из первых, решивших задачу о брахистохроне, был Лейбниц. Проблема ему очень понравилась, и он назвал ее прекрасной. Затем сообщили о своих успехах Якоб Бернулли (брат Иоганна) и Лопиталь. Сам Иоганн Бернулли, разумеется, располагал своим решением. Все эти ученые внесли значительный вклад в зарождавшееся новое направление — математический анализ. Но, кроме названных, было опубликовано и еще одно безымянное решение, в котором знатоки ex unge leonem («как по когтям узнают льва» — эту латинскую поговорку процитировал И. Бернулли) сразу же узнали Ньютона. Ньютон потом признался, что потратил на решение этой задачи около 12 часов непрерывного обдумывания.

Все авторы пришли к одному и тому же выводу: брахистохроной является циклоида. Здесь уместно будет сказать похвальное слово этой замечательной кривой.

Циклоиду описывает точка окружности, катящаяся без скольжения по прямой. Напишем ее уравнение.
 
Пусть l — горизонтальная прямая, по которой катится окружность радиуса R, имеющая центром точку О. Допустим, что в нулевой момент времени точка окружности, за которой надлежит следить, расположена в точке касания окружности с прямой l. Обозначим эту точку через А0. Пусть в этот начальный момент времени А0 совпадает с началом координат, где ось х направлена по прямой l, а ось у — в перпендикулярном направлении (рис. 2). Посмотрим, где окажется точка А0 после того, как окружность 
повернется на угол j по часовой стрелке. Для этого отложим точку Aj, на первоначальной окружности так, чтобы угол АjОА0 был равен j. Когда окружность при своем движении повернется на угол j, точка Aj, займет положение точки касания. Таким образом, абсцисса центра нового положения окружности будет равна Rj, ибо такова длина дуги от А0 до Aj. При этом наша точка А0 займет такое положение, что угол А0ОАj будет равен j. Отсюда следует, что координатами (х(j),  у(j)) точки А0 будут числа

Вот мы и получили уравнение циклоиды, которая при j = 0 проходит через начало координат. В общем случае появляется еще один параметр

                                                                        (1)

Что же такого примечательного в этой кривой? Как она возникла?

Циклоида впервые появилась в работах Галилея, для иллюcтративных целей. Он же дал ей название ц и к л о и д а, т. е. «связанная с кругом». Вскоре эту кривую переоткрыли во Франции (Мерсенн, Роберваль, Декарт, Ферма, Паскаль) и назвали рулеттой или трохоидой. Первое чудо, случившееся с этой кривой, состоит в том, что она служила как бы полигоном, на котором проверялись новые виды оружия, впоследствии поступившего в арсенал математического анализа.

Античная математика оставила будущим поколениям совсем мало кривых. Главные кривые античности - окружность, а также эллипс, гипербола и парабола, появившиеся у Аполлония. И все. Счастье, что первые законы механики не вывели за пределы этого запаса кривых: планеты движутся по эллипсам, а брошенные тела летят по параболам.

Так вот, долгое время все крупнейшие математики XVII века (кроме названных, еще Вивиани, Торричелли и некоторые другие) оттачивали свои новые методы исследования именно на циклоиде: проводили касательные, находили площади под ней, вычисляли длину ее дуг и т. д.

А затем случилось второе чудо. Циклоида стала первой «неантичной» кривой, которая оказалась связанной с законами природы. Выяснилось, что именно циклоида, а не окружность, как писал Галилей, обладает тем свойством, что тело, скользящее по ней без трения, совершает колебания периода, не зависящего от начального положения. Это свойство циклоиды — ее таутохронность (т. е. равновременность) — открыл Гюйгенс. Его работа произвела подлинную сенсацию. Сам Гюйгенс писал об этом: «Наиболее желательным плодом, как бы величайшей вершиной этого учения Галилея о падении тел, является открытое мною свойство циклоиды».

И вот вновь циклоида появилась по совершенно другому поводу...

Теперь уже пора переходить к решению задачи. Мы помним, что имелись пять решений; И. Бернулли, Лейбница, Я. Бернулли, Лопиталя и Ньютона. Все они были очень содержательны. Лейбниц применил прием, который далее развил Эйлер (суть его можно понять из письма Лейбница к И. Бернулли, приводимого нам далее). Ныне метод Лейбница — Эйлера является одним из основных методов решения задач на максимум и минимум — это так называемый прямой метод в вариационном исчислении. Я. Бернулли основывал свое решение на принципе Гюйгенса и сделал, таким образом, еще один шаг к созданию теории Гамильтона — Якоби (о ней было кратко упомянуто в третьем рассказе). Но наибольшую популярность получило решение самого автора. Не счесть книг, где оно приведено. Приведем его и мы.

Введем в плоскости систему координат (х, у) так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у — направлена вниз. При этом поместим точку А в начало координат (рис. 1). Пусть уравнение кривой (желоба), соединяющей точку А с точкой В, координаты которой равны (a, b), будет задано функцией у = f (х). Сначала нам надлежит вычислить время, за которое тело М массы m (без трения) спустится из точки А в точку В по желобу f (х). Из механики известен закон Галилея, согласно которому скорость тела в точке с координатами (х, f (х)) (при движении под действием тяжести без трения) не зависит от формы кривой f между точками А и (х, f(х)), а зависит лишь от ординаты f (х). «Скорости падающих весомых тел находятся между собою в отношении корней квадратных из пройденных высот»,— пишет И. Бернулли.



Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10