Аэродинамическая задача Ньютона

Эта книга («Начала натуральной философии» Ньютона)
навсегда останется памятником глубины гения.
П. Лаплас

Страницы 1— 4

Ошибаются ли гении? Обычно, если задают такой вопрос, то предполагают утвердительный ответ на него. Есть нечто утешительное в сознании, что и гениям свойственно заблуждаться. Об ошибках гениев пишут с большим воодушевлением. Доставалось и Ньютону. В одной из книг, посвященных задачам оптимизации, написано так: «Ньютон сформулировал вариационную задачу о теле вращения, испытывающем наименьшее сопротивление в газе. Принятый им закон сопротивления физически абсурден, в результате чего поставленная им задача не имеет решения (чем более зазубрен профиль, тем меньше сопротивление)... Если бы выводы Ньютона были хотя бы приблизительно верны, то мы не нуждались бы сегодня в дорогостоящих экспериментах в аэродинамических трубах».

Что же это за задача и насколько справедливы приведенные выше критические слова? Об этом и пойдет речь в этом рассказе.

В 1687 году вышли «Математические начала натуральной философии» Ньютона. Никакое произведение научной литературы не может быть сопоставлено с этой книгой. В ней Ньютону было суждено открыть систему мира, а такое может случиться лишь однажды. Лагранж назвал это сочинение «величайшим из произведений человеческого ума»; «памятником глубины гения», назвал «Начала» Лаплас.

В этой книге, помимо открытия основных законов механики, законов движения планет и других основополагающих фактов, уделено место и многим частным проблемам.
 
Обсуждая вопросы, связанные с сопротивлением, оказываемым материальным телам средой, в которой они движутся, Ньютон как бы мимоходом бросил следующую фразу: «Когда же фигура DNFG будет кривою такого рода, что если из любой ее точки N опустить на ось перпендикуляр NM и из заданной точки G провести прямую GR, параллельную касательной к кривой в точке N и пересекающую ось у в точке R, то имеет место пропорция MN : GR = GR3 : (4BR х GB2), тогда тело, образующееся при обращении этой кривой около оси АВ, при движении в вышеупомянутой редкой среде в направлении от А к В будет испытывать меньшее сопротивление, нежели всякое иное тело вращения, описанное «а той же длине и ширине» (рис 1).

Фраза Ньютона привлекла к себе внимание современников лишь после того, как спустя девять лет, в 1696 году, И. Бернулли поставил свою задачу о брахистохроне, о которой речь шла в предыдущем рассказе.

В сиянии брахистохроны задача Ньютона заняла положение несчастной Золушки: ее как-то избегали, вспоминали о ней редко, да и то, как правило, чтобы поведать о заблуждении гения. На все это были свои причины. Но как и для Золушки, так и для задачи Ньютона пришел свой час.

Попробуем проникнуть в замысел Ньютона.

При конструировании кораблей, снарядов, торпед или ракет естественно возникает стремление придать им такую форму, чтобы они испытывали возможно меньшее сопротивление при своем движении. Ньютон пишет: «Можно сравнить сопротивление тел между собой и находить те, которые наиболее приспособлены к продолжению своего движения в сопротивляющейся среде». Но, если, скажем, корабль или самолет не может иметь слишком большой симметрии своего корпуса, то головки ракет, снарядов и торпед естественно делать круглыми в поперечном сечении; иными словами, им резонно придавать форму тел вращения. Но какую именно? Сферическую, коническую, веретенообразную или еще какую-нибудь? На такие вопросы нельзя ответить без вычислений, без решения некоторой математической задачи на максимум и минимум. Именно такую задачу ставит (и решает в приведенной выше фразе) Ньютон.

В самом первом приближении задача ставится так.

З а д а ч а. Найти тело вращения заданной длины и заданной ширины, испытывающее наименьшее сопротивление при движении в некоторой среде.

П о я с н е н и я. Каждый из терминов, участвующий в формулировке (длина, ширина, движение и среда), требует точного описания.

Ньютон представляет себе тело вращения одинаковым сзади и спереди, т. е. симметричным относительно плоскости, проходящей через середину оси вращения и перпендикулярной этой оси. Таким образом, длина тела — это его длина по оси вращения, а радиус срединного сечения — это ширина тела. Из сказанного вытекает, что при всех рассмотрениях можно ограничиться лишь половинкой тела. Так мы дальше и поступаем.

Теперь — о движении. Будем считать, вслед за Ньютоном, что движение, совершаемое телом,— это равномерное движение с постоянной скоростью u.

Наконец, о среде. Это наиболее тонкий и принципиальный вопрос. Среда, описанная Ньютоном, несколько необычна. Он сам называет ее «редкой» (разреженной). Ньютон представляет себе редкую среду «состоящей из равных частиц, свободно расположенных на равных друг от друга расстояниях». Неподвижные частицы имеют фиксированную массу m и являются абсолютно упругими шарами. Само тело Ньютон считает также абсолютно упругим, так что каждый шарик, столкнувшись с движущимся телом, отскакивает от него по закону «угол падения равен углу отражения».

После приведенных пояснений можно было бы сразу точно поставить и начать решать общую задачу, но мы поступим по-другому. Сначала исследуем более простой вопрос. С этого более простого вопроса, кстати говоря, начинает и сам Ньютон.
 
З а д а ч а  о б  у с е ч е н н о м  к о н у с е. При данных основании и высоте усеченного конуса найти тот конус, который испытывает наименьшее сопротивление при движении в редкой среде.

Определим силу сопротивления, испытываемую усеченным конусом при движении в редкой среде.

Пусть усеченный конус имеет высоту, равную Н, и радиус верхнего основания R (рис. 2). Часть рис. 2, выполненная жирными линиями, содержится в «Математических началах».

Ньютон пишет: «Так как действие среды на тело то же самое... движется ли тело в покоящейся среде или же частицы среды ударяют с той же скоростью на покоящееся тело, то будем рассматривать тело в покое». 

Поступим так же и мы: оставив конус неподвижным, мы будем считать, что на него снизу вверх «надвигается» среда со скоростью u.

Поверхность конуса, испытывающая столкновения с шариками среды, состоит из его нижнего основания и боковой поверхности. Сначала вычислим сопротивление, испытываемое нижним основанием. Обозначим его радиус через х. За единичное время с этим основанием столкнутся шарики, которые первоначально находились в цилиндре с основанием, равным нижнему основанию, и высотой, равной u. Объем этого цилиндра V0 равен px2u. Пусть r — плотность среды, m — масса одной частицы. Тогда число частиц, ударившихся о нижнее основание за единичное время, будет равно N0 = (r / m) V0 = (r / m) px2u. Каждая частица после удара о нижнее основание сменит свою скорость на противоположную, т. е. получит приращение импульса, равное — 2mu. По третьему закону Ньютона конус получит противоположное приращение импульса, и значит, общее приращение импульса от всех частиц будет равно N02mu = 2prx2u2. Аналогично обстоит дело и для боковой поверхности. О нее ударяются частицы, помещаемые в объем между двумя одинаковыми боковыми поверхностями, и этот объем V1 равен p(R2х2)u. Число частиц, ударившихся о боковую поверхность, равно N1 = (r / m) V1 = (r / m) p (R2x2) u.
Но здесь надо аккуратнее подсчитать приращение импульсов. Отразившись от стенки, частица получит приращение импульса m (u2u1) (рис. 3). Этот вектор надо спроектировать на ось у. Из рисунка легко понять, что эта проекция равна — 2mucos2j, где j — угол наклона образующей конуса к плоскости нижнего основания. Таким образом, общее приращение импульса от всех частиц, ударившихся о боковую поверхность, равно



Страница 5
Страница 6
Страница 7
Страница 8
Страница 9
Страница 10
Страница 11
Страница 12
Страница 13
Страница 14