Соотношения: золотое сечение и другие (упражнения).

Упражнение 1. Построить звезду указанного типа (рис. 1), поместив  в нее растровый рисунок.


Рис. 1
Соотношения внутреннего и наружного диаметра выбрать по тому или иному закону - см. теорию.
2) В многоугольник зведы, как в контейнере, поместить растровый рисунок (например, свой портрет).
3) Раму (размер, толщину, цвет) и фон в раме задать по своему усмотрению.
4) Меру перевооплощения растрового рисунка задать в "Арт-Векторе" или PhotoShop.

Методические рекомендации:
Обрезать фото (через инструмент "изменение формы");
"Поместить в конейнер" выполняется через меню-команды: эффекты - фигурная обрезка - поместить.
"Редактирование контейнера" через меню-команды: эффекты - фигурная обрезка - изменеть.
"Зафиксировать результат редактирования" через: эффекты - фигурная обрезка - закончить.

Примечание: Построить звезду в CorelDraw в соотношениях  0.666 , (1-0.667) , (1-0.777) или других соотношениях нутреннего и внешнего диаметров выполняется в следующнй последовательности: задать окружности и отрезок. Отрезок повернуть на угол 360/5 вокруг центра окружностей и  затем точки деления соединить соответствующим образом. Чтобы использовать многоугольник, как контейнер, он должен быть замкнутым.
 

 
Портрет Федора Конюхова (образец композиции**)
 
             Рис. 2
 Этапы выполнения упражнения
1                            2                                           4
    

 
4-й этап - выбор размер (также по золотому сечению) рамы, фона.

Низ картины выбирать чуть больше, чем верх - так принято


Упражнение 2. Выполнение домашнего задания 1 в CorelDraw (комплексный и аксонометрический чертежи):
 Эскизирование детали и построение комплексного и аксонометрического чертежей по ее анимации.
Образец здесь  и здесь  и в формате .cdr (CorelDraw 6) здесь.
Методические указания 1-го задания  для распечатки на принтере здесь .

Числа, золотое сечение, овалы Кассини

Числа делятся и не делятся. Делятся:
На 2. Если на 2 делится число, образованное из одной последней цифры.

На 4. Если на 4 делится число, образованное из 2-х последних цифр.

На 8. Если на 8 делится число, образованное из 3-х последних цифр.

На 5. Если последняя цифра 0 или 5.

На 3. Если сумма всех цифр числа делится на 3.

На 9. Если сумма всех цифр числа делится на 9.

На 11. Если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на нечетных местах, на величину, кратную 11.

На 13. Если делится на 13 число, полученное зачеркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу, учетверенного значения последней цифры

Например, n=52

Тогда: l = 5+4*2=13

Для числа 2002 можно выполнить цепочку вычислений и определить, что данное число делится на 13.

2002->208->52->13

 


Простое число: нет ни одного числа (кроме 1 и самого себя) на которые бы это число нацело делилось. Для поиска таких чисел придумано решето Эратосфена. В коллекции чисел сначала надо вычеркнуть числа, кратные 2, затем, кратные 3 и т.д, двигаясь по ряду, не трогая те числа, которые были уже вычеркнуты.
Пусть имеем ряд натуральных чисел от 2 до 30.

1) Зачеркнем сначала в этом ряду каждое второе число после2, иначе говоря, все четные числа.

2) Теперь вычеркнем каждое третье после тройки (с учетом уже ранее вычеркнутых).

3) Теперь посмотрим, какое невычеркнутое число стоит после тройки. Пять. Превосходно. Зачеркнем каждое пятое число после пяти. Это 10,15,20,25,30.

4) После пятерки невычеркнутое число 11 и поэтому после него вычеркнем каждое 11.

5) И т.д. Каждое тринадцатое после 13, каждое 17-е после 17, 19-е после 19, 23-е после 23…

Таким образом, получим простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 59, 61 и т.д.

Евклид в свих «Началах» дает теорему: «Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их», т.е. простых чисел бесконечно.

Решето Эратосфена означало не только в переносном смысле, но и в прямом: Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и протыкал острой полочкой; вскоре дощечка начинала походить на решето.

Упражнение 1. В шахматной доске (1-64) найти клетки, соответствующие простым числам, закрасить их.


Числа-близнецы: два простых числа, которые отличаются на 2. Есть также тройня: 2,5,7.

Совершенное число равно сумме своих делителей, включая единицу и исключая само число. Например, 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496, 8128, 33 550 336. Так что совершенных чисел не густо. Есть формула расчета совершенных чисел (открыл Пифагор). Открытые совершенные числа все четные. «Нечетных никто не видел, но проведено много остроумных исследований того, как он не может выглядеть».
В Древнем Египте существовал обычай отводить на пирах шестое-совершенное место самым знатным и почетным гостям.

Дружественные числа m и n: если сумма собственных делителей m равна n, а сумма собственных делителей n равна m. Пифагор на вопрос, кого следует считать другом ответил: «Того, кто является вторым я, как числа 220 и 284». Другие пары: 1184 –1210; 2620-2924; 5020-5564. Вычислять дружественные числа – занятие сложное, а вот применять их, например, в размерах рам, вполне возможно. Размеры 220х284, наверное, предпочтительнее для листов художественных рисунков, по сравнению с форматом А4 (210х297). Интересно, почему чертежники выбрали эти размеры? И интересно, почему С.Дали число 77 758 469 312, считал магическим!

 

Упражнение 2. Построить вертикальный и горизонтальные прямоугольники по размером или соотношениям дружественных чисел (например, формат для рисунков 220 х 284, вместо 210 х 297, принятый в черчении).

Коэффициент меньшей стороны рамы по отношению к большей:

Золотое сечение: 0.618

Дьявола-сатаны: 0.666

Формата А4: 0.7070

Великолепной семерки: 0.777

Пример: рамы, построенные, на заданных соотношениях (большая сторона равна 100)  


666 – число дьявола, сатаны, зверя
Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое; число его шестьсот шестьдесят шесть. Откровение Иоанна Богослова (Апокалипсис).

666 – число не простое оно равно:

Сумме квадратов первых семи простых:

666 = 2*2+3*3+5*5+7*7+11*11+13*13+17*17

Сумме первых 36 натуральных

666=1+2+3+…35+36

Разности и сумма шестых степеней первых трех натуральных

666=16 +26 +36

Число вида 2 в степени I, содержащее в своей записи число 666, называется апокалиптическим, а число имеющее в своей записи ровно 666 знаков, - числом Апокалипсиса.

Упражнение 3. Построить симметричные и несимметричные (вершины и впадины) звезд по внутреннему и наружному диаметрам в соотношениях: золотого сечения (0,618 и (1-0.618), дьявола-сатаны 0.666 и (1-0.666) и великолепной семерки 0.777 и (1-0.777).


Золотое сечение

Звезда-пентаграмма – совершеннейшая фигура - образована по правилам золотого сечения.

Пифагор именно ее выбрал символом своего союза, она же считалась амулетом здоровья. В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков: Ad:Ac=Ac:Cd=AB:Bc=Ad:Ae=Ae:Ec и т.д. – таких отношений множество. Точка D делит AD на две неравные части, и большая часть так относится к меньшей, как весь отрезок - к большей части. Это отношение: Ф = 1,618. Часто рассматривают отношение меньшего к большему, тогда Ф = 0,618.

Скульптор Фидий (Vв.до н.э.) храм Парфенон в Афинах построил полностью на данных соотношениях, поэтому эти числа еще называют числами Фидия.

Как разделить отрезок в отношении Ф, описано в знаменитых «Началах» Евклида. Сначала к отрезку АВ восстановим перпендикуляр ВС, длина которого равна половине отрезка АВ. Далее изобразим две окружности: одну с центром в точке С и радиусом ВС, а вторую – с центром в точке А и радиусом AN, где AN – точка пересечения первой окружности с гипотенузой АС. Точка М, в которой вторая окружность пересекает отрезок АВ, делит его отношении Ф, т.е. АМ:МВ=Ф=1,618. Считается, что данное соотношение приятно для глаза.

Леонардо да Винчи назвал это соотношение золотым сечением, и считал, что пропорции человеческого тела связаны с числом f. В эпоху Возрождения художники старались во всем придерживаться этому соотношению: выбор рамы картины (ширины к высоте), линии горизонта (отношение по высоте). Ле Корбюзье – даже придумал Модулер человека, по которым строил строительные и архитектурные сооружения.

Если от золотого прямоугольника отсечь квадрат, то опять получим «золотое прямоугольник» и так будет до бесконечности. Если провести диагонали в первом и втором прямоугольнике, то точка их пересечения О, будет принадлежать всем получаемым «Золотым прямоугольникам»

Есть «золотой треугольник», у которого отношения боковых ребер к основанию равно Ф. Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, что длина биссектрис углов при его основании равны длине самого основания. Мона Лиза

Есть «золотой кубоид» - это прямоугольный параллелепипед  с ребрами длиной Ф, 1, f. Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ –2, описанная сфера имеет радиус = 1. Отношение поверхности этой сферы к поверхности «золотого кубоида» равно Пи:Ф

С числом Ф тесно связан ряд Фибоначчи: 1,1,2,3,5,8,13…, в котором каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих
Фn=1/2*(an*Sqr(5)+bn, где an – n-е число Фибоначчи, а bn – n-й член ряда.

Золотое сечение в звезде определяется еще одним хорошим свойством: отношение описанной окружности к внутренней  = 1: (1-0.618). По аналогии можно строить звезды в соотношениях сатаны-дьявола: 1: (1-0.666) и великолепной семерки: 1:(1-0.777). В первом случае явно прослеживается гармония. В случае сатаны-дьявола – дисгармония – ни туды и ни сюды. В третьем случае гармония и динамика. В визуальном восприятии - все строится на чуть-чуть.

Примеры: Другие примеры построения звезд в соотношениях золотого сечения и дьявола.
Звезда на соотношениях 0.666 и (1-0.66)  (еще рис.1, 2, 3).

В таких же соотношениях можно выбрать размеры рам (рис.)

Задачка. Вокруг земного шара по экватору натянута стальная проволока. Длину проволоки увеличили на метр. Спрашивается: Проскочит ли мышь между проволокой и шаром, при равномерном расширении проволоки. Вместо проволоки взять веревку. Что будет?


 
 Овалы Кассини – француз (17-й век) описал кривую, по которым планеты двигаются вокруг Солнца, как множество точек произведение расстояний от которых до двух точек фокусов постоянно. |p-F1|*|p-F2|=С (у эллипса сумма величина постоянная: |p-F1| + |p-F1|=С).

В зависимости от этой постоянной величины форма кривой может принимать различные очертания (рис. ). Наиболее интересна кривая – лемниската Бернулли (украшенная лентами) – кривая плавного перехода от ж.д. прямолинейного участка к округлой. Лемниската может быть с n фокусами, которая может оказаться самой причудливой формы (рис.): Z(x,y) = |p-F1|*|p-F1|*|p-F1|*….*|p-Fn| - C

В системе Вектор реализованы несколько случаев получения рельефов на данном принципе.


Математический "цветник" описывается уравнением в полярных координатах:
R=a*sin k*f 

где а и к – некоторые постоянные

или:

R=4*(1+cos 3*f) – 4*sin(2)*3*f

R=3*(1+cos (2) 3*f) +2*cos f +sin()2 f - 2*sin(2)*3*f * cos (4) (f/2)

R=4*(1+cos 3*f) + 4*sin(2)*3*f

Упражнение 4. В «Арт-Векторе» написать МК и построить «цветник», выбирая те или иные соотношения (золотого сечения, ряда Фибоначчи, зверя) для величин а и к.


МК <cvetnik>
a=2 ' наружный размер

k=2 ' число лепестков

Set O = p( 2, 2, 0) ' положение центра

Polyline.Reset ' Обнулить, если строилась раньше полилиния

For i = 0 To 5*6.29 step 0.05

' R=a*sin( k*i)

' R=a*(1+cos (k*i)) - a*sin (k*i)*sin (k*i)

' R=a*(1+cos (k*i)) + a*sin (k*i)*sin (k*i)

R=a*(1+cos(k*i)*cos(k*i)) +a*cos(i) +sin(i)*sin(i) - a*sin(k*i )*sin(k*i )* cos(i/2)* cos(i/2)* cos(i/2)* cos(i/2)

x=O.x+R*cos(i)

y=O.y+R*sin(i)

Polyline.AddP(P(x,y,z) )

Next

Polyline.SaveInDoc ( ngroup )

Polyline.Draw

Рисунки, полученные с помощью МК <cvetnik> и худ. преобразований (в диалоге): 1, 2, 3, 4, 5