Фракталы

(статья из ДЭ, том Математика и в системе "Арт-Вектор")

Многие знакомы с приключениями девочки Алисы — героини волшебных сказок немецкого математика и писателя Чарльза Латуиджа Доджсона (1832-1898), сочинявшего под литературным псевдонимом Льюис Кэролл. В повести «Алиса в стране чудес» с девочкой происходит целый каскад превращений. Она то увеличивается до невероятных размеров, то уменьшается до величины кролика или мышки. Любопытно, что в одних случаях окружающие ее предметы не претерпевают никаких изменений, в других — становятся миниатюрными.

Идею самоподобия малого в большом высказывали не только сказочники. Известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) рискнул предположить, что внутри капли воды могут умещаться целые вселенные со своими планетами, на которых предаются важным размышлениям философы, такие же, как и на нашей Земле. Валерий Брюсов в стихотворении «Мир электрона» (1922 г.) облек эту мысль в поэтическую форму:
 

Быть может, эти электроны —
Миры, где пять материков,
Искусства, знанья, войны, троны
И память сорока веков!
Ещё, быть может, каждый атом —
Вселенная, где сто планет;
Там всё, что здесь, в объеме сжатом,
 
 
 
Самоподобной геометрической фигурой называют фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Самоподобными, например, являются правильный треугольник и квадрат (рис. 1). Однако существуют и самоподобные фигуры весьма причудливых очертаний. На рис. 2 показаны первые несколько стадий построения «веточки». Это простейшая самоподобная фигура, имеющая неограниченное число элементов. 

Она строится следующим образом. Исходный отрезок делят на три равные части, и из точек деления под углом 45° проводят отрезки, составляющие 1/3 длины исходного отрезка. Затем ту же процедуру повторяют по отношению к вновь построенным отрезкам и т. д. 

Аналогичное свойство самоподобия обнаруживают многие объекты в природе, стоит лишь повнимательнее присмотреться к ним: к линиям трещин в земной коре, ветвлениям деревьев, очертаниям гор, облаков и коралловых рифов. Рассмотрев горный хребет с разного расстояния — из космоса, с борта самолета, а затем непосредственно с горной вершины, каждый раз мы будем обнаруживать все новые и новые подробности, ис-кривления и изломы — раньше они представлялись нам прямыми или плоскими деталями рельефа. Но видим мы тем не менее все те же горы. Рельеф гор как бы не зависит от мас-штаба — он самоподобен. Объекты, обладающие таким свойством, современный американский математик Бенуа Мандельброт предложил называть фракталами (от лат. frangere — «ломать», «разбивать»). В книге «Фрактальная геометрия природы», вышедшей в 1982 г., Мандельброт относит к фракталам объекты, форма которых может быть описана как зернистая, ветвистая, морщинистая, запутанная, похожая на морские водоросли.

Внутренние свойства фракталов удобно описывать числовой характеристикой, получившей название фрактальной размерности. Проведем несложный эксперимент. Возьмем лист чистой миллиметровой бумаги и начертим на нем произвольный прямолинейный отрезок (рис. 3). Подсчитаем количество клеток с длиной стороны 1 см и количество клеточек с длиной стороны 1 мм, через которые проходит этот отрезок. Во сколько раз одно число больше другого? Если эксперимент проводить аккуратно, то покрывающих отрезок миллиметровых клеток окажется в десять раз больше, чем сантиметровых. Результат представляется вполне естественным: ведь во сколько раз уменьшили измерительную клетку, во столько раз увеличится общее число таких клеток. Подобную закономерность мы обнаружим, исследовав периметры треугольника, параллелограмма или круга.

Другими словами, число N квадратиков, покрывающих отрезок, пропорционально ве-личине 1/d, где d — размер стороны квадратика. Казалось бы, установленное нами свойство должно быть присуще любой линии на плоскости. Поразительно, но это неверно.
 

В 1890 г. Джузеппе Пеано построил линию, которую мы сегодня без всякого сомнения называем фракталом. Начальные этапы построения кривой Пеано показаны на рис. 4 (процесс дробления ее звеньев можно продолжать и дальше). Кривая Пеано обладает ошеломляющим свойством: как бы мы ни дробили измерительную сетку — в любом ее мельчайшем квадратике окажутся точки кривой! Получается, что количество квадратиков с размером стороны d, покрывающих кривую Пеано, пропорционально не 1/d, как для обычных, «благообразных» линий, a 1/d2!
 

Безусловно, кривая Пеано — экзотика, причуда, фантазия изобретательного математического ума. Насколько же были удивлены ученые, когда обнаружили реальные объекты, которые, как и кривая Пеано, не укладывались в привычные представления практической геометрии. Одним из первых с ними столкнулся английский естествоиспытатель Л. Ричардсон (1881-1953), исследовавший очертания береговых линий. Оказалось, что измеряемая длина побережья L пропорциональна 1/da, где d — длина стороны квадрата масштабной сетки, а показатель a характеризует степень изрезанности берега. Например, для побережья Великобритании коэффициент a составляет 1,24; для побережья Австралии — 1,13 и т. д. Изломы и шероховатости линии берега, которые видны па картах крупного масштаба, постепенно исчезают по мере его уменьшения. Если мы измерим длину береговой линии на картах разного масштаба, то увидим, что она тем больше, чем крупнее масштаб.

Метод, которым определяют степень изрезанности или сложности структуры фрактала, восходит к понятию размерности, предложенному в 1919 г. немецким математиком Феликсом Хаусдорфом. Представим себе объект сложной формы, сплошь покрытый квадратиками, как миллиметровая бумага. Число N квадратиков, содержащих точки объекта, зависит от формы последнего и длины стороны квадратной ячейки d. Если N пропорционально 1/da, то показатель степени а объявляется размерностью объекта. На практике размерность объекта удобно определять, нарисовав график зависимости функции In N от —     In d. Этот график изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой и будет размерностью a.

К запутанным, раздробленным или ветвистым структурам математики относились всегда настороженно. Когда в 1860 г. известный немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс опубликовал работу о чрезвычайно изломанной функции, график которой в меньшем масштабе выглядел точно так же, как и в более крупном, другой известный математик, Шарль Эрмит, отреагировал на это событие весьма экспансивно: «С омерзением и ужасом я отворачиваюсь от… зловредной язвы — непрерывных функций, нигде не имеющих производных».

Глубочайшее эмоциональное воздействие на людей оказывают творения, возникшие на самом гребне научно-технического прогресса конца XX в. Человеку, впервые созерцающему фантастические узоры, приведенные на рис. 7, трудно поверить, что выполнила их не обладающая воображением «бесчувственная» вычислительная машина, следуя несложному математическому замыслу. Открыл узоры Бенуа Мандельброт. Его творения — прекраснейшие представители богатого мира фракталов.

Как же удалось математикам вычислить красоту? Что за математические зависимо-сти лежат в основе этих шедевров?

В поисках ответов вспомним о комплексных числах и о комплексной плоскости. Любое комплексное число z = x + iy на данной плоскости изображается точкой, и ее можно найти, если задать две координаты x и y — соответственно действительную и мнимую части числа z. Число i (мнимая единица) весьма необычно: его квадрат равен — 1. в записи z = x + iy оно отчасти служит для того, чтобы отличать действительную часть числа z от мнимой. Комплексные числа можно складывать и умножать, и в результате также получится комплексное число. При суммировании двух комплексных чисел их компоненты складываются по отдельности, а умножение производится по правилам умножения многочленов. Например: (2 + 3i) x (4 – 5i) = 8 – 10i + 12i – 15i = 8 + 2i – 15i2. Учитывая, что i2 = –1, окончательно получаем 8 + 2i – 15i2 = 23 + 2i.

Отправим точку путешествовать по комплексной плоскости. Снабдим ее следующем предписанием. Если точка находится в каком-то пункте z = x + iy (его координаты х и у), то следующей пункт z она должна выбирать по правилу

 
где с = c1 + 2 — некоторое фиксированное (не меняющееся во времени путешествие точки) комплексное число с действительной частью с1 и мнимой частью с2. В соответствии с правилами выполнения операций над комплексными числами это означает, что новые координаты (х; у) точки вычисляются по формулам
      (1)

На рис. 5 и 6 показаны маршруты путешествия точки с местом старта в начале координат, соответствующие разным значениям с: на рис. 5 с = 0,27 + 0,01i, а на рис. 6 с = 0,29 +0,01i. В первом случае точка не желает уходить слишком далеко от «домашнего очага». Во втором — бежит «куда глаза глядят»: удаляется все дальше и дальше. Оказывается, существует область значений параметра с, при которых точки-путешественницы, выходящие из начала координат, постоянно будут «вертеться» около места старта. При других же значениях с они устремляются на «зов бесконечности». Граница этой области, получившая название множества Мандельброта, устроена весьма причудливо

  На рис. 7 показаны части границы множества Мандельброта. И вот что удивительно — среди причудливой вязи орнаментов, уходящих в бесконечную глубину, среди разнообразия завитков, спиралей и «протуберанцев» всякий раз перед нами открывается картина изумительной красоты и появляются во много раз уменьшенные копии изначального множества Мандельброта. А в целом возникает бесконечно самовоспроизводящаяся красота, т. е. фрактал.


В системе  "Арт-Вектор" реализовано 76 (на май 2002 года)  различных конформных преобразований действительной плоскости на мнимую. Под номером 75 реализовано формула (1) из статьи.
(c1 , 2) - в программе m_re1, m_im1 - это фактически точка привязки (задается в диалоге - параметр 1) объекта на мнимой плоскости. Преобразования на мнимую плоскость может быть выполнено для любого геометрического объекта, заданного полилиниями. На рисунках ниже показано что получается на мнимой плоскости из ортогональной и полярной сеток, барельефа (совокупности полиний, полученных после распознования фотографии), орнамента, просто фигур.

case 75: //      Мандельброт  ДЭ c. 418
  {
          CComplex a(m_re1, m_im1);
          z_out.re = 0.1*(z.re*z.re-z.im*z.im) + m_re1;
          z_out.im = 0.1*2*z.re*z.im + m_im1;
  }
  break;
 

Рис. 8. Преобразование ортогональной сетки действительной плоскости на мнимую плоскость
а)                                                 б)
Рис. 9. Преобразование четверти полярной сетки на мнимую плоскость
а)                                                 б)
 
Рис. 10. Два преобразования на преобразование с рис. 9.
а) фигура (рис. 9,б) не сдвинута, б) фигура (рис. 9,б) сдвинута
   
Рис. 11. Пример преобразования барельефа.
Рис. 12. Другой пример, где с помощью сдвига барельефа и вращения можно добиться выразительности передачи образа
Рис.13. Здесь показано, как группа из нижнего слева поля преобразовалась в другую группу
 
Рис.14. Здесь фигуры (рис. слева) находились по центру
 
 
Рис.15. Сетка (рис. слева) находились, в основном, в положительной четверти действительного пространства, и вот что (рис. справа) получилось
 
Рис.16. Здесь ситуация та же, что на рис. 15, но уже с группой людей.
На рис. справа выполнено второе преобразование
 
Рис.17. Так ведут себя муравьи после преобразования (рис. справа), выстроенные перед этим в ряд (рис. слева)
Резюме.
Итак мы рассмотрели только один вид конформного пребразования. Можно придумать их бесконечное множество. В системе "Арт-Вектор" пока их 76. Кроме того пребразования можно класть на рельефы (их количество 173), плюс линии можно делать художественными, цветными, делать заливку.
Вот как выглядят муравьи залитые цветом по методу случайных чисел с использованием других конформных преобразований (более полная коллекция работ см. на странице выставки)
 
Рис.18. Справа исходный рисунок (муравьи получены дублированием из одного, и разбросаны и повернуты по методу случайных чисел)
   
Рис.19. Здесь уже "куча мала", или после каких-то конформных преобразований или их совокупности - полная абстракция