ФОРМУЛА ПИКА

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, т. е. имеют целочисленные координаты. Существует формула, позволявшая найти его площадь путём подсчёта числа содержащихся в нём узлов. Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны 1/2, а, следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.
Чтобы найти это число, обозначим через п число сторон многоугольника, через i — число узлов внутри его и через b — число узлов на сторонах, включая вершины. Обшая сумма углов всех треугольников равна pТ. Теперь найдём эту сумму другим способом.
 
Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2p, т. е. общая сумма таких углов равна 2ip; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (bn)p, а сумма углов при вершинах многоугольника — (п2) p. Таким образомpТ = 2ip + (bn) p + (n – 2)p, откуда получаем выражение для площади S многоугольника:

известное как формула Пика. Например, на рисунке b = 9, i = 24, а следовательно, площадь многоугольника равна 27,5.

 
Рис. 1
Если многоугольник описан около окружности, его площадь можно выразить очень короткой формулой, которая справедлива при любом числе сторон:

где r — радиус окружности, а р — полупериметр многоугольника. Чтобы вывести эту формулу, многоугольник разбивают па треугольники отрезками, соединяющими центр окружности с вершинами (рис. 1).

 
В общем случае приходится довольствоваться формулой, выражающей площадь через координаты (х1; у1), (х2; у2), …, (хп; уп) последовательных вершин п-угольника:

Отличительной особенностью данной формулы является то, что площадь здесь выражается не через характеристики самого п-угольника (стороны, утлы), а через координаты его вершин. Последние же зависят от расположения п-угольника относительно осей координат. А потому данную формулу считают не вполне «геометричной». Однако она достаточно удобна в практических задачах.



 

ПАРКЕТЫ — ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ

 
 
Рис. 2
Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, — треугольник, квадрат и шестиугольник (рис. 2).
 
 
 
 
Рис. 3
В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами.
Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой верши­не паркета будет сходиться          k = 360°/ an многоугольников, где an — угол правильного n-угольника. Легко найти, что a3 = 60°, a4 = 90°, a5 = 108°, a6 = 120° и 120° < an < 180° при п > 7. Поэтому 360° делится нацело на an только при п = 3; 4; 6. 
Паркеты из правильных многоугольников сами правильные в том смысле, что они «одинаково устроены» относительно всех своих вершин и всех составляющих паркеты кусочков-многоугольников. (Эти кусочки называются гранями замощения или просто плитками.) Другими словами, для любых двух вершин правильного паркета можно указать такое его самосовмещение, при котором одна из вершин попадает на другую. То же верно для любых двух плиток паркета. 
Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь, изображённых на рис 3.
 
 
Рис. 4
Рассматривают и другое обощение — паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. допускающие самосовмещения, которые переводят любую за­данную плитку в любую другую). Число таких паркетов — 46, включая и первые три. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами. Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник — планигон (рис. 4, а). То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны (рис. 4, б).
 
 
Рис. 5
Ещё пять примеров показаны на рис. 5. 
Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры. Существуют и непериодические замощения, например очень красивое спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 г. немецким математиком X. Фодербергом (рис. 6). Впрочем, объединив эти плитки попарно в центрально-симметричные восьмиугольники, можно замостить ими плоскость и периодически. 
Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине  60-х гг. XX в. эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками. 
 
 
 
Рис. 6
 
Рис. 7
Но при их выкладывании необходимо соблюдать некоторые простые правила сочетания фигурок (вместо этого на краях фигурок делают специальные зазубрины, их совпадение обеспечивает соблюдение правил). Форма фигурок может быть различной, но все они связаны с правильным пятиугольником. Один из примеров подобной пары плиток — так называемые треугольники Робинсона. Другой пример — ромбы с острыми углами 72 и 36°. Участок одного из бесконечного множества образуемых ими паркетов показан на рис. 7. Как и все другие мозаики Пенроуза, этот паркет квазипериодический (от лат. quasi — «почти»), т. е. любая его конечная часть повторяется в нём бесконечно много раз. Но самое интересное заключается в том, что вскоре — уже через несколько лет после открытия квазипериодических замощений, вначале казавшихся не более чем игрой ума, — были получены вещества с квазипериодической структурой.