Тема 8. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

С о д е р ж а н и е
Введение
8.1. Способ замены плоскостей проекций на примере  с точкой
8.2. Проецирование прямой линии в точку
8.3. Преобразования прямой общего положения в проецирующее положение
8.4. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
8.5. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня (определение натуральной величины плоской фигуры)
8.6. Опреление натуральную величину плоского треугольника АВС общего положения
8.7. Примеры решение метрических задач способом замены плоскостей проекций
8.8. Примеры определение натуральной величины сечений многогранников


Введение

Суть метода состоит в задании новых изображений геометрических фигур удовлетворяющих определенным свойствам.  Это может быть какой-либо дополнительный вид фигуры, натуральная величина какой-либо ее грани (например, для построения разверток) или других задач, типа определения угла между гранями, расстояние между двумя объектами и т.д. В системе CG-Вектор есть операция "вид на объект по направлению вектора". Вектор  это отрезок прямой который  определяется разностью координат начальной и конечной точек, что можно записать в векторной форме:
р = р2 - р1,
или через его координаты:
x = x2 - x1
y = y2 - y1
z = z2 - z1
Такая запись может использоваться в языковой среде системы CG- Вектор.
Чтобы определить направление взгляда или направление проецирования необходимо определить отрезок прямой линии (двумя точками)  по направлению которого необходимо смотреть на моделируемую сцену или, как это принято в начертательной геометрии, строить перпендикулярно этому направлению новую плоскость.
В начертательной геометрии при этом требуется, чтобы геометрические объекты проецировались на две взаимно-ортогональные (взаимно-перпендикулярные)  плоскости.
При этом одну из плоскостей оставляют старой, а вторую - выбирают перпендикулярно к ней. Принимая это условие и выбирая горизонтальную плоскость в виде первой плоскости, а  вторую перпендикулярно ей, получаем, что новое направление проецирования должно быть быть по линии параллельной горизонтальной плоскости, т.е. наблюдатель (в бесконечности) как бы  вращаясь вокруг объекта смотрит на него не поднимаясь и не опускаясь. Такое же условие можно поставить и относительно фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим это на примере с точкой и определим механизм замены, традиционно применяемый в начертательной геометрии.

8.1. Способ замены плоскостей проекций на примере  с точкой

Пусть в системе плоскостей   задана точка А (A',A''). Выберем новое (не на фронтальную или профильную плоскости проекции  как это делали раньше) направление проецирования х, причем такое чтобы новая плоскость была перпендикулярна горизонтальной плоскости. Таким направлением будет прямая - горизонталь проведенная из точки. Новая плоскость является как бы новой по отношению к фронтальной плоскости (отсюда метод замены плоскостей проекций) и при этом  остается важное свойство высоты   (координаты) точек на новой плоскости равны координатам старой фронтальной плоскости.
 
 
Линия направления проецирования (линия связи) проецируется на горизонтальную плоскость  перпендикулярно следу новой плоскости. Плоскость V1 пересекается с пл. Н по прямой х1, которая определяет новую ось Ох1. Для определения проекции А'1 на плоскости V1 достаточно спроецировать ее ортогонально. Из чертежа видно, что АхА''1=AxA'' (высоты равны). Эпюр (плоский чертеж получается совмещением плоскости V1 c Н, при этом А'xA''1 перпендикулярна оси - x1,  Ax1A''1=AxA''. Схему преобразований можно записать так:
х-V/H  -> х1-H/V1
Аналогично можно выполнить замену горизонтальной плоскости Н на новую плоскость Н1 по схеме:
х-V/H  -> х1-V/H1
 
При решении задач встречается необходимость выполнять замену последовательно два, три и
более (в начертательной геометрии многомерного пространства) раз. Каждый переход осуществляется на основе изложенной закономерности: выбора направления проецирования и построения новой проекции по двум заданным.

8.2. Проецирование прямой линии в точку

Пример 1. Задан отрезок прямой, занимающий положение горизонтали. Требуется подобрать направление проецирования и новую плоскость проекций на которую данный отрезок проецировался бы в точку.
Решение. При задании отрезка AB прямой уровня решены две задачи: во первых определена натуральная величина отрезка (горизонтальная проекция A'B') и определен угол * наклона прямой AB к фронтальной плоскости проекций V. Чтобы выполнить преобразование прямой в точку, необходимо направление проецирование выбрать по направлению отрезка АВ, а новую плоскость построить перпендикулярно ему. Отрезок АВ параллелен горизонтальной плоскости и значит плоскость ему перпендикулярная Q будет перпендикулярна и горизонтальной плоскости проекции H (вырожденная проекция такой плоскости -ось  х1 перпендикулярно горизонтальной проекции отрезка A'B'). Схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1

             
Рис. Прямая-горизонталь АВ проецируется на плоскость V1 в точку, если V1 перпендикулярно Н и ее вырожденная проекция (след) х1 на горизонтальной проекции перпендикулярна проекции А'B' отрезка АВ.


8.3. Преобразования прямой общего положения в проецирующее положение

 

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1 -> x2-V1/H1



Преобразование прямой в проецирующее положение по направлению вектора прямой в системе СG-Вектор (рис. 8.4.1) может быть выполнен по следующему сценарию:

Макрокоманда 8.1.
$ mk8n1 - преобразование прямой в проецирующее положение
: p11=15.,70.,60. p12=60.,20.,10
$ n - номер коньюнкции
 _Задание_Сцены__
 _Конъюнкция_________:_ KKKK 00
 _Элемент______________ AAAA 00
 _Тип______ ПАРАЛ
 _Вершина_________(  10.0  10.0  10.0   20.0    0.0    0.0    0.0   20.0    0.0    0.0    0.0   20.0
_Выход
_Выход
_Выход
_Визуализация___
        _Цвет_Фона:_ 99 99 99
 _Выход
otrezok: p1=p11 p2=p12 n=2 s1=3. s2=3.
har : n=3   s1=3.
har : n=4 s1=3. p1=p2
monh                                  $ мк автоматического построения ортогонального чертежа (эпюра)
_Визуализация___
 _Задание_Эск
  _Стандартные_проекции_ Гориз
  _Точ._зрения_(   45.0  -50.0  -50.0
  _Выход
 _Визуализиpовать_ ВСЕ  00

 а)                                          б)                                       в)
Рис. 8.9. а,б) Заданные прямая и куб - ортогональный и аксонометрический чертеж,
 в)  преобразованное положение - прямая выродилась в точку



 

8.4. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость

Данная задача может быть решена из определения: плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Таким образом, если в заданной плоскости взять какую-либо прямую и последовательно преобразовать ее точку, то и плоскость в которой она лежит должна стать проецирующей (проецироваться-вырождаться в прямую). Из этого уже следуют, что для произвольной прямой плоскости необходимо выполнить два преобразования (см. пример 2). Однако, если в плоскости взять не произвольную прямую, а линию уровня, то преобразования такой прямой в проецирующее положение можно выполнить за одно преобразование (см. пример 1). На рис. показано такое преобразование:  в плоскости АВС выбрана горизонталь h,  к ней построена новая плоскость (ее след х1),  на которую треугольник АВС проецировался в вырожденный отрезок АВ.
 

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1
 


8.5. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня (определение натуральной величины плоской фигуры)

Задача в данной постановке решается одним преобразованием: новую плоскость выбирают параллельно заданной у нее вырожденный след (ось х1 ) будет параллелен следу заданной плоскости

             

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1 -> x2-V1/H1


8.6. Опреление натуральную величину плоского треугольника АВС общего положения

Плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, поэтому требуется две замены 1) преобразование в проецирующее положение и вторая замена в положение уровня. Данные преобразования по отдельности были выполнены выше и объединяя их получим схему преобразования

Первую плоскость V1 выбираем перпендикулярно к плоскости АВС. Для чего ось х1 (след плоскости АВС)  проводим перпендикулярно горизонтали А-1 принадлежащей плоскости АВС ( на горизонтальной плоскости х1 * A'-1'). Вторую плоскость Н1 выбираем параллельно треугольнику АВС, что будет соответствовать выбору на плоскости V1 оси х2 (следа плоскости Н1)   параллельно вырожденной проекции А''1-B''1-C''1 треугольника АВС.
 

Здесь схема преобразований: х-V/H  -> х1-H/V1 -> x2-V1/H1

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (рис. 8.6.1.)  в системе СG-Вектор  осуществляется проецированием по направлению вектора нормали к заданной плоскости (рис. 8.4.1). Вектор нормали к плоскости это перпендикуляр к плоскости, который может быть определен графически: построением прямой - на горизонтальной плоскости к горизонтали плоскости и во фротальной плоскости к фронтали плоскости (см. тему 6),  или аналитически или с помощью операций в модуле Vecline системы "Вектор". В последнем случае плоскость задаем тремя точками, вектор нормали заносится в регистр р195, откуда он может быть перенесен в "CG-Вектор". В МК 8.2 дан сценарий, полученный при моделировании сцены изображения по направлению вектора, перпендикулярного к плоскости.

Макрокоманда 8.2
$ н.в. плоской фигуры, вектор нормали р  определен в подсистеме Vecline
$plosk:p1=30.,8.,10.p2=5.,22.,20.p3=15.,6.,5. n=1
: p=-0.130079,-0.720387,0.681093
monh: s90=2.5       $  строим три проекции  (рис.а)
_Визуализация___
 _Визуализиpовать_ ВСЕ  00
 _Задание_Эск
  _Точ._зрения_( x      y      z
  _Выход
 _Визуализиpовать_ ВСЕ  00      $   (рис. б)
 
             а)                                                б)
Рис. 8.6.1. а) ортогональный чертеж и б) сцена изображения н.в. плоской фигуры, полученная мк 8.2



 

8.7. Решение метрических задач способом замены плоскостей проекций

Часто возникают задачи двух видов:
1) требуется геометрическую фигуру расположить параллельно плоскости проекций и этим будет определена натуральная величина плоской части фигуры и
2)преобразовать объект так (часто в проецирующее вырожденное положение ребро, или грань) чтобы  была возможность проще определить по изображению или расстояние  или угол.

Таким образом при преобразовании возникает четыре важных задачи:
1) уметь преобразовать прямую в линию уровня (таким образом, найти ее натуральную величину),
2) преобразовать прямую в точку (что позволяет решать многие задачи намного проще)
3) преобразовать плоскость в проецирующее положение
4) преобразовать плоскость в положение уровня.
Если решаются эти четыре задачи, то остальные многие основываются на них. При этом возникает, что прямую общего положения можно преобразовать в проецирующее положение двумя заменами (использую принцип последовательной ортогональной замены), причем первая замена выполняет замену в прямую уровня, а вторая замена непосредственно в проецирующее положение.
Плоскость же общего положения можно первой заменой преобразовать в проецирующее положение, а второй  заменой  в положение уровня. Если прямая или плоскость занимает первоначально частное положение, то дальнейших замен достаточно одной.
Так например, чтобы преобразовать прямую уровня в проецирующее положение достаточно одной замены также как  проецирующую плоскость в плоскость уровня. Все это рассмотрено было выше, поэтому перейдем к рассмотрению ряда примеров

Пример 1. Определить расстояние между параллельными прямыми.
Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра к этим прямым. На рис. задача решена двойной заменой плоскостей проекций прямые приведены в проецирующие положения. Искомое расстояние равно отрезку К'1N'1. Проекция K''1N''1 на плоскости V1 выбрана произвольно, но параллельно оси x2 из условия, что  К'1N'1 - натуральная величина.



Пример 2. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD.

Искомое расстояние - отрезок перпендикуляра к обеим прямым. Если  одна из прямых перпендикулярна плоскости проекций, то общий перпендикуляр будет расположен параллельно плоскости проекций и проецируется на нее в натуральную величину. Таким образом, необходимо выбрать новую плоскость проекций, перпендикулярную одной из прямых. Так как оба отрезка - прямые общего положения, то задача решается двойной заменой (см. задачу 3). K'1N'1 - искомый отрезок. К''1N''1 на плоскости V1 располагается параллельно Ox1 (из условия, что на Н1 он имеет натуральную величину). При построении надо обратить внимание, что преобразования ведем по одной прямой, но строим и вторую прямую (как получится) и только на плоскости Н1 строим к ней из вырожденной прямой АВ перпендикуляр, который может пересекаться с отрезком  СD и на его продолжении.

Преобразование двух параллельных прямых (рис.8.7.1), а также одной из скрещивающихся  прямых в проецирующее положение в системе (рис.8.7.2) СG-Вектор  может быть выполнено по направлению вектора одной из прямой (см. макрокоманду 8.1). В первом случае такое направление определяется вектором р=р11-р12 =33.,5.,-6. и подставляя его значения  в строку:  "_Точ._зрения_(   33.0  5.0  -6.0"  макрокоманды 8.3 пролучим проецирующие положения обеих прямых

Макрокоманда 8.3
$ mk8n3 - определение расстояния между двумя параллельными прямыми

 : p11=40.,24.,5. p12=7.,19.,11. p13=34.,19.,18.  p14=12.,3.,8.
otrezok: p1=p11 p2=p12 n=1 s1=0.5 s2=1.
otrezok: p1=p13 p2=p14 n=2 s1=0.5 s2=1.
har : n=3   s1=1. p1=p11
har : n=4   s1=1. p1=p12
har : n=5   s1=1. p1=p13
har : n=6   s1=1. p1=p14
monh
_Визуализация___
 _Задание_Эск
  _Стандартные_проекции_ Гориз
  _Точ._зрения_(   33.0  5.0  -6.0
  _Выход
 _Визуализиpовать_ ВСЕ  00

 а)                                          б)                                       в)
Рис.8.7.1. Задание а) ортогональный чертеж, б) аксонометрия и в) проецирующее положение двух параллельных прямых, полученных в системе "СG - Вектор"



Пример 3. Определить расстояние от т. М до плоскости АВС.
Задача решается проще, если плоскость занимает проецирующее положение. НА рис. 5 плоскость АВС приведена в проецирующее положение на плоскость V1. На V1 преобразована и точка М. Перпендикуляр из т. М на вырожденную проекцию плоскости определяет наикратчайшее расстояние от точки М до плоскости АВС. Перпендикуляр к проецирующей плоскости  является линией уровня и поэтому при обратном построении он будет являться линией уровня (M'N' // x1)

Вид (рис. 8.7.1, б ), где легко фиксируется  расстояния от точки до плоскости  в системе "CG-Вектор" определяется проецированием фигур по вектору - линии уровня плоскости. В этом случае плоскость становится проецирующей.

а)                                              б)
 
Рис.8.7.1. а) эпюр и б) сцена определения расстояния от точки до плоскости



Пример 6. Определить величину двухгранного угла при ребре АВ.
Двухгранный угол (угол между двумя пересекающимися плоскостями) измеряется линейным углом, образованным плоскостью сечения, перпендикулярной общему ребру. На рис. двойной последовательной заменой добиваемся перпендикулярного расположения плоскости Н1 к ребру АВ.

Изображение (рис. 8.7.2, б ), где угол между двумя гранями определен в н.в. в системе "CG-Вектор" определяется проецированием общего их ребра по его вектору (см. мк 8.1)

а)                                                   б)
 

Рис.8.7.2. а) эпюр, б) в) сцена определения двугранного угла в системе  "CG - Вектор"


8.8. Определение натуральной величины сечений многогранников

Пример 7. На рис. 8.3 н.в. сечения 1-2-3 призмы фронтально проецирующей плоскостью.
Задача решена  заменой плоскостей проекций и понятно из рисунка.

На 8.8 построена линия пересечения прямой 30-гранной призмы с плоскостью общего положения.
Решение. Прямыми привязки точек на Н выбраны линии уровня, которые на Н изображаются параллельно следу плоскости, а на V параллельно оси х.
Н.в. сечения определена путем совмещения плоскости сечения с плоскостью Н и способом замены плоскостей проекций.

 
Рис.8.8.  Определение н.в. сечения призмы плоскостями общего положения методами замены  и совмещения
 

а)                                            б)
 
Рис.8.8.1  Определение н.в. сечения призмы фронтально-проецирующей плоскостью с помощью проецирования по нормали к плоскости сечения а) задание призмы и ее сечения б) сцена н.в. сечения
  а)                                             б)
 

Рис.8.8.2  Определение н.в. сечения призмы плоскостью общего положения с помощью проецирования по нормали к плоскости сечения в "CG-Вектор": а) задание призмы , б) сцена н.в. сечения



Пример 8. Определить натуральную величину сечения пирамиды фронтально проецирующей плоскостью.
Решение. Вначале определяем точки 1,2,3,4, пересечения ребер пирамиды и плоскости Р. Точки фиксируются кроме пл. V также на плоскости Н или на плоскости W (в некоторых случаях  приходится обращаться к проекциям на обеих плоскостях) Проекции точек определяются из условия их принадлежности ребрам пирамиды. Натуральная величина фигуры сечения определена двумя способами - способом замены и способом совмещения ( вращением вокруг нулевой горизонтали-следа плоскости, которая является в частном случае фронтально проецирующей).

Рис.8.9.  Определение н.в. сечения пирамиды методами  замены  и совмещения

 а)                                          б)                                       в)
Рис.8.9.1.  Определение н.в. сечения пирамиды с помощью проецирования фигуры по нормали к плоскости сечения: а,б) эпюры пирамиды без среза и со срезом, в) сцена н.в среза.