Тема 6. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Метрические свойства прямоугольных проекций

С о д е р ж а н и е

6.1. Определение натуральной величины отрезка прямой линии общего положения методом прямоугольного треугольника
6.2. Перпендикулярность прямой и плоскости
6.3. Перпендикулярность двух  плоскостей
6.4. Линия ската и углы наклона плоскости к плоскостям проекций
 


Задачи, в которых определяются натуральные величины отрезков прямых, плоских фигур, углов и т.д., называются метрическими. В основе решения любой метрической задачи лежат свойства конгруэнтности и теорема о проецировании прямого угла (см. тему 1).


6.1. Определение натуральной величины отрезка прямой линии общего положения методом прямоугольного треугольника

Графически натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого одним катетом будет любая из проекций отрезка, вторым катетом будет глубина одного из катетов отрезка относительно другого. Попутно здесь же решается задача определения угла наклона прямой и плоскостям проекций H и V.

      

Рис. 6.1. Натуральная величина отрезка определяется гипотенузой прямоугольного треугольника у которого катеты равны разности координат начала и конца.

Аналитически длина отрезка вычисляется (на языке программирования) по формуле:
s = sqrt ((xA-xB)*(xA-xB)+(xA-xB)*(xA-xB)+(xA-xB)*(xA-xB)),
где
xA-xB - разность широт начальной и конечной точек отрезка;
yA-yB - разность глубин начальной и конечной точек отрезка;
zA-zB - разность высот начальной и конечной точек отрезка;


6.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Если в плоскости взять пересекающиеся линии: горизонталь и фронталь, то можно воспользоваться свойствами проецировании прямого угла (см. тему 1).

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекции перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 6.4,а).

а)                                                      б)                                              в)
 
Рис. 6.2. Прямая перпендикулярная плоскости (ее фронтали и горизонтали).

Если плоскость задана следами, то прямая, перпендикулярная к ней, будет изображаться прямой линией, перпендикулярной к одноименным следам плоскости (имеем горизонтальный след - это горизонталь и фронтальный след - фронталь плоскости) (рис. 6.2,б).
Если прямая перпендикулярна к проецирующей плоскости, то она будет являться линией уровня (рис. 6.2,в).
 
 

Прямая а перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым,  лежащим в плоскости (на рис. плоскость задана следами, а две пересекающиеся прямые f и h выбраны фронталью и горизонталью, которые параллельны следам плоскости).
 


6.3. Перпендикулярность двух  плоскостей

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Таким образом, чтобы построить плоскость, перпендикулярную заданной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную данной плоскости, и через эту прямую провести искомую плоскость.

На рис. 6.4, а показано построение плоскости Q (n пересекается с m), проходящей через точку К, перпендикулярной плоскости треугольника АВС и параллельной заданной прямой l  (последнее дополнительное условие определяет единственное решение задачи).
 


Рис.6.4. Плоскость проходящая через перпендикуляр к другой плоскости перпендикулярна ей.

Решение задачи состоит в следующем: вначале, опускаем из точки К перпендикуляр n на плоскость треугольника АВС, для чего проводим горизонталь h и фронталь f  в плоскости треугольника, и затем строим n' перпендикулярно  h'   и  n'' перпендикулярно f'', и через точку К проводим прямую m, параллельную прямой l. Две пересекающиеся прямые m и n  определяют искомую плоскость, перпендикулярную заданной плоскости.

   Аналогично решаются задачи о построении перпендикулярной плоскости к плоскости, заданной следами. На рис. показана такая задача. Кроме того, плоскость Р проведена перпендикулярно и плоскости Н.
 
 
а)
б)
в)

        Рис. 6.5. Плоскость Q (ее след перепендикулярен P) явно видно, что перпендикулярна P.
 
По определению: плоскость перпендикулярно другой  плоскости, если она перпендикулярно двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Если плоскость перпендикулярна горизонтальной линии (горизонтали), то она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций Н


6.4. Линия ската и углы наклона плоскости к плоскостям проекций

Линией наибольшего ската (уклона) называется прямая плоскости, перпендикулярная к горизонтальному следу или горизонталям этой плоскости. (рис. 6.7, а,б, а также см. тему 3). При помощи линий ската определяется угол наклона данной плоскости к плоскости H.

Натуральная величина наклона плоскости (в частности, линий ската) может быть на ортогональном чертеже определена с помощью прямоугольного треугольника.
 а)                                           б)
 
Рис. 6.7. а) Прямая плоскости перпендикулярная ее горизонтали называется линией ската, б) прямая плоскости перпендикулярная горизонтальному следу плоскости является линией ската.

Аналогично могут быть определены углы наклона плоскости и к плоскостям V и W. Для этого используются прямые наибольшего уклона данной плоскости к соответствующим плоскостям проекций.

Прямые наибольшего уклона, перпендикулярные фронталям плоскости, образуют наибольший угол с фронтальной плоскостью;

прямые наибольшего уклона, перпендикулярные профильным прямым плоскости, образуют наибольший угол с профильной плоскостью проекций.

Угол, образованный между прямой наибольшего уклона и ее проекцией на выбранную плоскость проекций, определяют угол наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций. На эпюре данный угол может быть определен из метода прямоугольного треугольника.