ПРИМЕНЕНИЕ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТАХ В САПР

Болотов В.П., Осипов В.А., Сатаев А.Г., Чулков В.О.

 Прочностные расчеты сопровождаются расчетами напряжений, при которых твердое тело с помощью булевых операций можно разбить на твердотельные конечные элементы. Если тело образуется посредством структурно-клеточного представления (СКП) в системах "Вектор" и CG, элементом расчета напряжений является геометрически определяемая "клетка" этого представления.

СКП сложных объектов можно предложить в качестве геометрического инструмента подготовки данных для метода конечных элементов (МКЭ) по исследованию напряжений инженерных конструкций. Традиционные МКЭ, предполагающие строгое теоретическое обоснование, можно успешно применять лишь для ограниченного класса задач и особых условий нагрузки. Неуверенность в достоверности приближенного расчета предельных нагрузок вынуждает конструкторов усложнять конструкции, что приводит к перерасходу материалов и увеличению стоимости.

Основные принципы МКЭ были известны еще в 19-м веке, однако из-за сложности математических вычислений распространение они получили только с применением вычислительной техники.

Расчет рабочего напряжения (прочности) основан на использовании коэффициентов жесткости, устанавливающих перемещение узлов нагруженной сетки, что позволяет определять напряжение в каждом элементе.

Жесткость пластичного материала определяется следующим выражением:

F = kx,
где k - жесткость материала (коэффи-циент упругости), F - сила, x - перемещение.

Для стержня, имеющего два свободно перемещающихся узла, жесткость определяется в векторной форме. Вектор жесткости равен матрице жесткости, умноженной на вектор узловых перемещений:

F1         k    -k     x1
F2        -k     k     x2    .
Матрица жесткости применяется в любом методе прочностного расчета, использующего конечно-элементную сетку. Для объемных деталей соотношение сил и перемещений зависит от геометрии элементов и сводится к различным алгебраическим вычислениям, оперирующим множеством матриц.

Для описания элемента вводятся понятия области конечного элемента и степени свободы каждого узла.

Размерность матрицы жесткости зависит от общего числа степеней свободы узлов сетки. Например, тонкий стержень имеет одну степень свободы в каждом из 2-х узлов, что и определяет размерность матрицы - два. Для системы из 2-х стержней размерность увеличивается до 3х3. Простая двумерная область, такая как треугольник, в каждом из трех узлов имеет две степени свободы, и матрица жесткости будет иметь размерность 6х6. Для элемента (рис. 1) уже необходима матрица 16х16. Для описания сложных конструкций и условий нагрузки может потребоваться матрица жесткости огромных размеров (1000х1000 и более).

В МКЭ элемент может быть представлен в виде:
- тонкого двумерного стержня (2 узла);
- тонкого изгибающего бруса (2,3 узла);
- треугольника плоского (3 узла);
- 4-х угольника плоского (4 узла);
- параболического 4-х угольника (4 узла и 4 характеристических  точки-узла );
- треугольного 3-х мерного сплошного линейного типа (6 узлов);
- тетраэдра 3-х мерного сплошного (4 узла);
- четырехугольного сплошного линейного типа (8 узлов);
- 3-х мерного сплошного квадратичного типа (20 узлов);
- треугольного кольца (3 узла);
- 4-угольного кольца (4 узла);
- криволинейного кольца (8 узлов).
 

Рис. 1

 Перечисленные элементы в системе "Вектор" могут быть получены непосредственно из СКП, например, 4-х угольники и 3-х мерные 4-х угольники, или с помощью дополнительных разбиений.

Интересны области применения элементов. Элемент типа стержень или брус применяется при расчетах плоских каркасов и ребер жесткости в листовых конструкциях.

Поверхностные элементы обеспечивают расчеты на прочность таких физических конструкций, как перекрытия, палуба судна, т.е. для конструкций, подвергающихся воздействию изгибающих нагрузок.

Криволинейные 2-х мерные элементы в 3-х мерном пространстве обеспечивают расчет емкостей высоких давлений и кузовов автомобилей.

Трехмерные сложные элементы, требующие громоздких расчетов на компьютере, точнее отражают нагрузки на конструкцию. Элементы применяются при анализе таких конструкций, как корпуса клапанов, поршни и лопатки турбин.

Осесимметричные объемные сплошные элементы образуются путем вращения определенного сечения вокруг пространственной оси и используются при анализе валов, маховиков, форсунок, корпусов насосов, рабочих колес и ремней.

Элемент твердого тела испытывает различные составляющие напряжения: растяжение и сжатие в направлении осей x, y и z, сдвига по плоскостям и т.д.  Результирующее воздействие на элемент может оказаться более критичным, чем каждая из его составляющих. Внутри элемента всегда найдется точка, в которой пересекаются взаимно перпендикулярные плоскости. Плоскости, расположенные под определенными углами друг к другу, образуют максимальную нормаль напряжения. Эти плоскости называются основными плоскостями, а их результирующая напряжения - максимальным основным напряжением.

Процесс расчета на прочность по МКЭ на персональном компьютере охватывает три этапа.

1. Подготовка модели и ее предварительный анализ.

2. Построение геометрической модели конструкции. Здесь требуется ввести следующие данные:

- геометрические параметры (тип элемента, частота сетки, область получения сетки);
- характеристики нагрузки (величины и точки приложения и направления векторов нагрузки, давления, термические нагрузки, центробежные нагрузки, частотные силы и т.п.);
- граничные условия (сопряженные силы трения, допустимые перемещения);
- свойства материалов (плотность, коэффициенты трения).

3. Анализ модели. На этом этапе определяются:

- значения перемещений узлов;
- величины нагрузок на элемент, которые, в свою очередь, отображаются в виде:
- сеток, деформированных под действием нагрузок;
- изолиний с числовыми отметками о величинах нагрузок;
- раскрашенных зон и интенсивности их цветов в зависимости от величин приложенной нагрузки;
- мультипликации динамического процесса изменения нагрузок и т.д.