7. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ БОЛЕЕ ПЯТИ ИЗМЕРЕНИЙ

7.1. Изображение точек шестимерного пространства

Пусть имеется прямоугольная система координат шестимерного пространства Oxyztuv. Изображать ее по аналогии наглядного чертежа трехмерного, четырехмерного пространства уже нет смысла, т.к. из-за большого количества осей полностью теряется наглядность такого чертежа. На рис.7.1.1 представлен совмещенный чертеж шестимерного пространства трехмерные подпространства
xty , xyv , xyu совмещены с подпространством хуz.

Если эти совмещенные подпространства разнести как показано на рис.7.1.2, то получим разнесенный аксонометрический и разнесенный ортогональный чертежи шестимерного пространства. Точка шестимерного пространства вполне определяется пятью проекциями как на аксонометрическом, так и на ортогональном чертежах. При этом изображения точек шестимерного пространства являются метрически определенными (обратимыми).

Моделирование точки шестимерного пространства на разнесенных чертежах может быть обосновано и общими принципами моделирования: как результат последовательного ортогонального проецирования точки пространства шести измерений на координатные подпространства, размерность которых постепенно уменьшается на единицу до трехмерных координатных подпространств.



 

7.2. Изображение некоторых линейных образов шестимерного пространства

Две точки шестимерного пространства однозначно определяют прямую такого пространства.

Пусть в шестимерном пространстве заданы две точки A и В (рис.7.2.1). Соединим эти точки, получим геометрический образ, выражающий прямую шестимерного пространства.

Такая прямая представлена на ортогональном чертеже пятью проекциями.

На рис.7.2.1 показано построение следов прямой АВ на координатных гиперплоскостях.

Точка К след прямой на координатной гиперплоскости xytuv (z = 0),

точка М след прямой на координатной гиперплоскости xyzuv (t = 0),

точка Q след прямой на координатной гиперплоскости xyztu (v = 0),

точка N след прямой на координатной гиперплоскости yztuv (x = 0),

точка L след прямой на координатной гиперплоскости xyztv (u = 0),

точка Р след прямой на координатной гиперплоскости xztuv (y = 0).

Построение каждого следа выполнено путем отыскания на заданной прямой точки, одна координата которой равна нулю.

Прямая АВ пересекает все шесть координатных гиперплоскостей и называется прямой общего положения. Прямая может занимать частные положения относительно координатных гиперплоскостей. Изображение прямой частного положения может быть построено аналогично изображению прямых четырехмерного и пятимерного пространств.

Плоскость шестимерного пространства определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. На ортогональном чертеже (рис.7.2.2) плоскость АВС представлена точками А, В и С, не лежащими на одной прямой.

В общем случае плоскость шестимерного пространства пересекается с координатными гиперплоскостями по прямым, а с координатными четырехмерными подпространствами
в точках.

На рис.7.2.3 показано построение прямой Q Q' пересечения прямых АВ и ВС с названной гиперплоскостью, как это показано на рис.7.2.2.

На чертеже показано также построение точек R и S пересечения плоскости АВС координатными четырехмерными подпространствами xyzt и xyzu соответственно. Точка К определена как точка прямой Q Q', координата которой по оси Оu равна нулю, а точка S — как такая точка той же прямой, координата которой по оси Ot равна нулю.

Гиперплоскость шестимерного пространства определяется шестью точками, не лежащими в одном четырехмерном пространстве. Гиперплоскость с координатными плоскостями пересекается по прямым, которые будем называть следами гиперплоскости на координатных плоскостях. С координатными осями гиперплоскость пересекается в точках, которые называются точками схода следов гиперплоскости.

Уравнение гиперплоскости шестимерного пространства при принятых обозначениях координатных осей имеет вид
 

                                               (7.2.1)

 где А, В, С, D, Е, F и G некоторые числа; а х, у, z, t, и, v текущие координаты.

Если обозначить a = - (G / A), b = - (G / B), c = - (G / D), e = - (G / E), f = - (G / F), то уравнение (7.2.1) может быть преобразовано к виду:
 

                                                        (7.2.2)

 которое называется уравнением гиперплоскости относительно отрезков, отсекаемых этой гиперплоскостью на осях координат, так как числа а, b, с, d, e и f выражают такие отрезки.

Следы гиперплоскости на координатных плоскостях, пересекая координатные оси, отсекают на них отрезки, которые и выражаются отмеченными числами. Таким образом, между уравнениями гиперплоскости (7.2.1) и (7.2.2) и изображениями гиперплоскости ее следами на ортогональном и аксонометрическом чертежах имеется непосредственная связь, аналогичная той, которая отмечалась ранее для гиперплоскости четырехмерного и пятимерного пространств.

В дальнейшем изложении, как отмечалось и ранее, отрезки, отсекаемые гиперплоскостью на координатных осях Ox, Oy, Oz, Ot, Ou и Ov, которые выражаются числами а, b, с, d, е, f соответственно, будем называть параметрами по соответствующим осям.

Уравнения (7.2.2) являются заданными, если известны значения всех шести величин а, b, с, d, e и f, входящих в это уравнение, т.е. если известны все шесть параметров гиперплоскости. Следовательно, изображение гиперплоскости на ортогональном и аксонометрическом чертежах метрически определено (обратимо), если на этом чертеже заданы следы гиперплоскости, которые определяют все шесть ее параметров.

Построение следов некоторой гиперплоскости ABCDEF, заданной шестью точками A, В, С, D, Е и F, не лежащими в одном четырехмерном пространстве, может быть выполнено следующим образом:

1. Необходимо построить пять точек пересечения пяти не лежащих в одном подпространстве прямых заданной гиперплоскости с одной из координатных гиперплоскостей, например, с координатной гиперплоскостью xyztu. Эти пять точек определяют четырехмерное подпространство пересечения заданной гиперплоскости с названной координатной гиперплоскостью.

2. Следует построить точки пересечения полученного четырехмерного подпространства с пятью координатными осями Ох, Оу, Оz, Ot и Оu таким путем, как это было выполнено при построении следов гиперплоскости пятимерного пространства. Эти точки являются пятью точками схода, определяющими пять параметров заданной гиперплоскости и ее следы на соответствующих координатных плоскостях.

3. Необходимо построить точку пересечения любого четырехмерного подпространства заданной гиперплоскости с координатной плоскостью, включающей координатную ось Ov.

4. Следует соединить прямой построенную точку с построенной ранее на оси Оz точкой схода следов и найти точку пересечения этой прямой с осью Ov. Построенная точка является точкой схода следов на оси Ov, а прямая, соединяющая две упомянутые точки, следом гиперплоскости ABCDEF на координатной плоскости zv.

На рис.7.2.3 на аксонометрическом и ортогональном чертежах представлена гиперплоскость R, пересекающая все шесть координатных осей в точках Rx , Ry , Rz , Ru и Rv . Такая гиперплоскость называется гиперплоскостью общего положения. Для задания гиперплоскости общего положения на чертеже достаточно наличия пяти следующих следов: Rx Ry , Rx Rz , Rx Rt , Rx Ru и Rx Rv .

Если в уравнении (7.2.1) каждый из коэффициентов В, С, Е равен нулю, то уравнение принимает вид
 

                                                               (7.2.3)
или
                                                                    (7.2.4)

Гиперплоскость, выраженная уравнением (7.2.3) или (7.2.4), параллельна осям Оу, Ot, Ou и Ov, так как отсекает на каждой из них отрезок бесконечно большой длины. На чертеже (рис.7.2.4) рассматриваемая гиперплоскость представлена следами. Такую гиперплоскость будем называть
"xt - проецирующей".

Аналогично тому, как это было выполнено для четырехмерного и пятимерного пространств, можно показать, что принадлежность "xt - проекции" точки шестимерного пространства "xt - следу"
"xt - проецирующей" гиперплоскости является достаточным условием принадлежности данной точки названной гиперплоскости. На рис.7.2.4 показана точка A, лежащая в гиперплоскости Q.



 

7.3. О решении позиционных и метрических задач шестимерного пространства

На основании изложенного относительно принадлежности точки проецирующей гиперплоскости непосредственно следует, что при определении точки пересечения прямой с такой гиперплоскостью "xt - проекция" искомой точки определяется на пересечении "xt - проекции", заданной прямой с "xt - следом" гиперплоскости. Остальные проекции искомой точки находят на одноименных проекциях прямой. Такое построение точки К пересечения прямой АВ с
"xt - проецирующей" гиперплоскостью Q представлено на рис.7.3.1.

Если рассмотреть задачу на определение точки пересечения прямой с гиперплоскостью общего положения, заданной шестью точками, не лежащими в одном четырехмерном подпространстве, то при решении задачи может быть использован тот же прием, что и при решении аналогичной задачи в четырехмерном (рис.3.6.3) и пятимерном (рис.6.3.2) пространствах. При этом появляется только один лишний этап проведения через прямую вспомогательного линейного образа по сравнению с решением задачи в пятимерном пространстве. Названная задача и в шестимерном пространстве является основной позиционной задачей на взаимное пересечение линейных образов этого пространства. Последовательность решения каждой задачи такого характера может быть выбрана аналогично тому, как это рекомендовалось для решения подобных задач в пятимерном пространстве.

Длина L отрезка АВ прямой в шестимерном пространстве аналитически выражается формулой
 

                 (7.3.1)
 
где хA , уA , zA , tA , uA и vA , а также xB , yB , zB , tB , uB и vB прямоугольные координаты концов отрезка.

Таким образом, определение длины отрезка прямой на ортогональном или аксонометрических чертежах заключается в выполнении геометрических построений, необходимых для нахождения величины, которая выражается формулой (7.3.1).

На основании положений, которые были изложены ранее при определении длины отрезка прямой в четырехмерном пространстве можно сделать вывод, что определение длины отрезка прямой общего положения в шестимерном пространстве на ортогональном чертеже геометрически выражается последовательным построением четырех прямоугольных треугольников по той или иной его проекции.

Отрезок прямой шестимерного пространства может занимать по отношению к координатной системе Oxyztuv и частные положения. В таких случаях проекции отрезка могут выражать его длину без искажения.

При решении задачи по определению величины прямолинейной плоской фигуры необходимо руководствоваться соображениями, изложенными для четырехмерного и пятимерного пространств.

При решении метрических задач шестимерного пространства, как и при решении подобных задач в четырехмерном и пятимерном пространствах, можно пользоваться преобразованием проекций, выполненных путем изменения положения плоскостей координат и координатных подпространств, а также путем изменения положения геометрических образов (метод вращения) по отношению к координатной системе Oxyztuv.