6. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЯТИМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

6.1. Изображения точек пятимерного пространства на ортогональном и аксонометрическом чертежах

Представим прямоугольную систему координат пятимерного пространства Охуztu (рис.6.1.1) и отнесенную к ней точку А. Примем координатные четырехмерные подпространства Охуzи и Oxytu за подпространства проекции и ортогонально спроецируем на них точку А. С этой целью проведем через точку А проецирующие лучи, перпендикулярные к подпространствам Охуzи и Oxytu. Точки пересечения проецирующих лучей с координатными подпространствами Охуzи и Oxytu определяют проекции точки Ахуzu и Axytu на соответствующих четырехмерных координатных подпространствах. В свою очередь проекции Ахуzu и Axytu. ортогонально проецируем на координатные трехмерные подпространства и далее ортогонально на координатные плоскости (рис.6.1.1). Аналогично можно спроецировать точку A и на другие координатные четырехмерные, трехмерные и двумерные подпространства.

Точка, заданная проекциями на двух координатных четырехмерных подпространствах, вполне определяет точку пятимерного пространства, т.е. имеет координаты xA , уA , zA , tA , uA .

Работать на таком чертеже из-за большой нагроможденности неудобно, поэтому вращением совместим четырехмерные подпространства Охуzu и Oxytu друг с другом и затем разнесем их, как показано на рис.6.1.2. Получим разнесенный аксонометрический чертеж пятимерного пространства, заданный аксонометрическими проекциями четырехмерных подпространств. Точка, заданная проекциями на данных подпространствах, вполне определяет точку пятимерного пространства. Однако для дальнейшего упрощения с этими проекциями четырехмерных подпространств поступим аналогично начертательной геометрии четырехмерного пространства, вращением совместим трехмерные подпространства и разнесем их (рис.6.1.3). При этом подпространство xyt повторится дважды и его не изображаем. На рис.6.1.3,б показан разнесенный ортогональный чертеж пятимерного пространства. Проекции Аху, Ахуz , Axyt , Axyu на аксонометрическом чертеже и Аху, Ахz, Аxt , Ахu на ортогональном определяют точку в пятимерном пространстве, имеющую координаты xA , уA , zA , tA , uA . Легко видеть, что построенные чертежи являются метрически определенными и обратимыми: на них разрешимы метрические и позиционные задачи пятимерного пространства и возможна реконструкция геометрического образа по его изображениям на разнесенных аксонометрических трехмерных подпространствах и разнесенных ортогональных двумерных подпространствах.

На разнесенном ортогональном чертеже пятимерного пространства (рис.6.1.4) изображены семь точек, занимающих частное положение в пятимерном пространстве. Точка A лежит в координатной гиперплоскости xyzt, так как ее координата по оси Оu равна нулю. Точка В лежит в координатной гиперплоскости хуzu, так как ее координата по оси Ot также равна нулю. На основании аналогичных рассуждении легко прийти к выводу, что точка С лежит в координатной гиперплоскости xytu (z = 0), точка D в координатной гиперплоскости xztu (y = 0) и точка G в координатной гиперплоскости yztu (x = 0). Координаты точки Е по осям Ot и Оu равны нулю. Эта точка лежит в координатном трехмерном подпространстве хуz. Координаты точки F по осям
Оu, Ot, Оz равны нулю. Эта точка лежит в координатной двумерной плоскости ху.

Пользуясь предлагаемым методом моделирования точек пятимерного пространства, на ортогональном и аксонометрическом чертежах можно изобразить точки, занимающие в названном пространстве любое положение относительно координатной системы Oxyztu.



 

6.2. Изображение линейных образов пятимерного пространства

Прямая линия пятимерного пространства однозначно определяется двумя точками этого пространства. Построение аксонометрического и ортогонального чертежей прямой линии сводится к построению двух ее точек.

На аксонометрическом и ортогональном чертежах (рис.6.2.1) прямая АВ представлена четырьмя проекциями на каждом (на аксонометрическом чертеже вторичная проекция Аху Вху повторяется трижды).

В пятимерном пространстве прямая может пересекать гиперплоскость в одной точке, может быть параллельна гиперплоскости и может лежать в гиперплоскости. На этом основании могут быть отмечены следующие случаи положения прямой относительно координатных гиперплоскостей:

1. Прямая пересекает все пять координатных гиперплоскостей.

2. Прямая параллельна одной из координатных гиперплоскостей.

3. Прямая параллельна двум координатным гиперплоскостям, а следовательно, параллельна координатному трехмерному подпространству их пересечения.

4. Прямая параллельна трем координатным гиперплоскостям, а следовательно, параллельна координатной плоскости их пересечения.

5. Прямая параллельна четырем координатным гиперплоскостям, а следовательно, координатной оси, которая определяется в результате пересечения этих гиперплоскостей.

6. Прямая лежит в одной из координатных гиперплоскостей.

В первом случае прямая называется прямой общего положения, а в последующих пяти случаях прямой частного положения.

Отмеченные положения прямой относительно координатных гиперплоскостей могут быть охарактеризованы с точки зрения значений пяти координат двух точек, определяющих каждую прямую, как это имеет место в начертательной геометрии трехмерного пространства. А именно: если значения всех пяти координат двух точек соответственно различны, то такие две точки определяют прямую общего положения. Если значения координат двух точек прямой по одной из координатных осей равны, то эти две точки определяют прямую, параллельную координатной гиперплоскости, к которой перпендикулярна указанная координатная ось. Аналогичным образом могут быть охарактеризованы и другие прямые частного положения.

На основании изложенного следует, что на рис.6.2.1 представлена прямая АВ общего положения.

Точки пересечения прямой с координатными гиперплоскостями называются следами прямой на этих гиперплоскостях.

Прямая общего положения имеет пять следов, построение которых показано на рис.6.2.2. Следом прямой по координатной гиперплоскости xyzt является точка прямой, координата которой по оси Оu равна нулю. На чертеже сначала найдена проекция Lxu (u = 0), по которой на соответствующих проекциях прямой найдены и проекции Lxyztu , Lxz , Lxy . Следом прямой на координатной гиперплоскости xyzu является точка прямой, координата которой по оси Ot равна нулю. На чертеже сначала найдена проекция Мxt (t = 0), по которой на соответствующих проекциях прямой найдены и проекции Мхu , Мхz , Мху .

На основе аналогичных рассуждении на рис.6.2.2 построены следы прямой на координатных гиперплоскостях xytu, xztu и yztu точки К, P и N.

Изображения прямых частного положения можно построить, руководствуясь особенностями координат точек, определяющих каждую из таких прямых. Так, например, если прямая параллельна координатной гиперплоскости xyzt, то координаты всех точек этой прямой по оси Оu имеют равные значения. Такая прямая представлена на рис.6.2.3. На аксонометрическом чертеже проекция Ахуu Вхуu параллельна проекции Аху Вху , на ортогональном чертеже проекция Ахu Вхu параллельна оси Ох.

На рис.6.2.4 представлена прямая, параллельная одновременно четырем координатным гиперплоскостям xyxt , xyzu , xytu и xztu . Такая прямая параллельна оси Ox прямой пересечения названных гиперплоскостей. Координаты всех точек такой прямой по осям Оу, Ot, Oz и Оu соответственно равны.

Аналогичным образом могут быть изображены и другие прямые частного положения. Плоскость в пятимерном пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой, двумя пересекающимися прямыми и т.д.

На ортогональном чертеже (рис.6.2.5) плоскость представлена двумя пересекающимися в точке С прямыми а и b. В общем случае плоскость пятимерного пространства пересекается с координатными гиперплоскостями по прямым, а с координатными трехмерными подпространствами в точках. На чертеже построена прямая L L' пересечения заданной плоскости (а * b) с координатной гиперплоскостью xyzt. Эта прямая определена точками L и L' пересечения прямых а и b с названной координатной гиперплоскостью, которые построены, как и точка L на рис.6.2.2. Прямая L L' как лежащая в координатной гиперплоскости xyzt, пересекается с координатными трехмерными подпространствами хуz, xyt, xzt и yzt. Точки пересечения этой прямой с названными координатными трехмерными подпространствами являются точками пересечения плоскости (а * b) с этими подпространствами, ибо прямая L L' лежит в плоскости
(а * b). На чертеже показаны построения таких точек. Точки К , М , Р и N пересечения прямой L L' с координатными подпространствами xyt , yzt , xyz , xzt , соответственно построены так же, как и точки К, М, L и N на рис.2.2.3 (см. гл. II).

Если построить прямую пересечения заданной плоскости (а * b) с какой-нибудь другой координатной гиперплоскостью по двум точкам пересечения двух любых прямых этой плоскости с такой гиперплоскостью, то можно построить и точки пересечения плоскости (а * b) с координатным трехмерным подпространством, которые составляют названную гиперплоскость.

Трехмерное линейное подпространство в пятимерном пространстве определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости, или тремя пересекающимися прямыми, не лежащими в одной плоскости.

На ортогональном чертеже (рис.6.2.2) трехмерное подпространство (a * b * c) задано тремя пересекающимися прямыми а, b, с.

В общем случае в пятимерном пространстве трехмерное подпространство пересекается с координатными гиперплоскостями по плоскостям, с координатными трехмерными подпространствами по прямым и, наконец, с координатными плоскостями в точках.

На рис.6.2.6 построена плоскость L L' L" пересечения заданного подпространства с координатной гиперплоскостью xyzt. Эта плоскость определена точками L, L' и L" пересечения прямых а, в, с с названной координатной гиперплоскостью, которые построены, как точка L на рис.6.2.2 и точки
L и L' на рис.6.2.5.

Плоскость L L' L" лежит в координатной гиперплоскости и пересекается с координатными трехмерными подпространствами xyz , xyt , xzt и yzt по прямым линиям, а с координатными плоскостями ху, хz, xt, уz, yt и zt в точках. Прямые пересечения плоскости L L' L" с названными координатными трехмерными подпространствами, а также точки пересечения той же плоскости с названными координатными плоскостями являются прямыми и точками пересечения заданного трехмерного подпространства (а * b * с) с теми же координатными подпространствами и плоскостями, поскольку плоскость L L' L" лежит в заданном подпространстве (а * b * с). Построение прямых пересечения плоскости L L' L" с упомянутыми трехмерными подпространствами и точек пересечения той же плоскости с координатными плоскостями может быть выполнено, как аналогичные построения в четырехмерном пространстве на рис.2.3.3
(см. гл. II).

Если построить плоскость пересечения заданного трехмерного подпространства (a * b * с) с другой координатной гиперплоскостью по трем точкам пересечения трех, не лежащих в одной плоскости прямых этого подпространства с названной гиперплоскостью, то можно построить прямые и точки пересечения подпространства (а * b * с) с другими координатными подпространствами и координатными плоскостями.

Гиперплоскость пятимерного пространства определяется пятью точками или четырьмя пересекающимися прямыми, не лежащими в одном трехмерном линейном подпространстве. Задание гиперплоскости (a * b * с *d) пересекающимися прямыми а, b, с, d представлено на ортогональном чертеже рис.6.2.7.

Заданная гиперплоскость пересекается с координатными гиперплоскостями по трехмерным подпространствам, с координатными трехмерными подпространствами по плоскостям, с координатными плоскостями по прямым и, наконец, с координатными осями в точках. На рис.6.2.7 построено трехмерное подпространство La Lb Lc Ld пересечения гиперплоскости
(a * b * с * d) с координатной гиперплоскостью xyzt. Это трехмерное подпространство определено точками La, Lb, Lc, Ld пересечения прямых а, b, с, d с названной координатной гиперплоскостью, которые построены как точка L на рис.6.2.2, точки L и L' на рис.6.2.5 и точки L , L 1, L 2 на рис.6.2.6. Трехмерное подпространство La Lb Lc Ld лежит в координатной гиперплоскости xyzt и пересекается с координатными трехмерными подпространствами хуz, xyt, xzt и yzt по плоскостям, с координатными плоскостями ху, хz, xt, yz, yt и zt по прямым и с координатными осями
Ох, Оу, Оz, Ot, Оu — в точках. Плоскости, прямые и точки пересечения трехмерного подпространства La Lb Lc Ld с названными координатными трехмерными подпространствами, координатными плоскостями и координатными осями являются также плоскостями, прямыми и точками пересечения гиперплоскости (a * b * с * d) с теми же координатными образами, так как трехмерное подпространство La Lb Lc Ld лежит в заданной гиперплоскости (a * b * с * d). В координатной гиперплоскости xyzt прямые пересечения трехмерного подпространства La Lb Lc Ld с координатными плоскостями ху, xz, xt, уz, yt и zt, а также точки пересечения того же подпространства с координатными осями Ох, Оу, Оz и Ot могут быть построены так же, как и на рис.2.4.3 (см. гл. II) при нахождении следов гиперплоскости ABCD четырехмерного пространства. Построенные таким образом прямые пересечения трехмерного пространства La Lb Lc Ld с названными координатными плоскостями являются следами заданной гиперплоскости пятимерного пространства (a * b * с * d) на этих координатных плоскостях. Построенные же точки пересечения того же подпространства La Lb Lc Ld с упомянутыми координатными осями являются точками схода следов гиперплоскости (a * b * с * d) на соответствующих координатных осях.

Установим, какое количество и каких следов гиперплоскости пятимерного пространства на ортогональном и аксонометрическом чертежах дает метрически определенное (обратимое) изображение такой гиперплоскости.

Уравнение гиперплоскости пятимерного пространства при принятых нами обозначениях координатных осей имеет вид

,

где А, В, С, D, Е и F некоторые числа, а х, у, z, t и u — текущие координаты.

Если обозначить a = - (F /A), b = - (F / B), c = - (F /C), d = - (F / D), e = - (F / E), то уравнение (6.2.1) может быть преобразовано в уравнение вида
 

                                                        (6.2.2)
 
которое называется уравнением гиперплоскости относительно отрезков, отсекаемых ею на осях координат, так как числа а, b, с, d и е выражают такие отрезки. Следы гиперплоскости на координатных плоскостях, пересекая координатные оси, отсекают на них отрезки, которые выражаются упомянутыми числами. Следовательно, между уравнениями гиперплоскости (6.2.1) и (6.2.2) и изображениями гиперплоскости ее следами на ортогональном и аксонометрическом чертежах имеется непосредственная связь.

Отрезки, отсекаемые гиперплоскостью на координатных осях Ox, Oy, Oz, Ot и Оu и выражающиеся соответственно числами а, b, с, d и e, называются параметрами гиперплоскости по соответствующим осям.

На рис.6.2.8 представлена гиперплоскость Q, заданная следами на координатных плоскостях на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Гиперплоскость, пересекающая все пять координатных осей, называется гиперплоскостью общего положения.

Если в уравнении (6.2.1) каждый из коэффициентов В, D и Е равен нулю, то уравнение принимает вид

                                                           (6.2.3)
 
или относительно отрезков, отсекаемых гиперплоскостью на координатных осях
 
                                                                 (6.2.4)
 
Гиперплоскость, выраженная уравнением (6.2.3) или (6.2.4), параллельна осям Оу, Ot и Оu, так как отсекает на каждой из них отрезок бесконечно большой длины. Такая гиперплоскость параллельна координатному трехмерному подпространству ytu, определяемому названными осями. На ортогональном чертеже (6.2.9) рассматриваемая гиперплоскость R представлена следами.

Покажем, что принадлежность фронтальной проекции точки фронтальному следу такой гиперплоскости является достаточным условием принадлежности заданной точки рассматриваемой гиперплоскости.

Аналитически условие принадлежности точки такой гиперплоскости выражается в том, что значения пяти координат этой точки должны удовлетворять уравнению (6.2.3). При этом, как видно из названного уравнения, ему должны удовлетворять значения лишь двух координат х и у, значения координат у, t, и могут быть произвольными.

Так как фронтальная проекция любой точки трехмерного пространства определяется координатами х и z, а уравнение фронтального следа фронтально проецирующей гиперплоскости также имеет вид (6.2.3), то принадлежность фронтальной проекции точки фронтальному следу гиперплоскости (6.2.3) и является достаточным условием принадлежности точки фронтально проецирующей гиперплоскости.

На рис.6.2.3 показана точка А, лежащая в гиперплоскости R . Фронтальная проекция Ахz этой точки лежит на фронтальном следе rxz  рассматриваемой гиперплоскости.

Гиперплоскость, выражаемая уравнением (6.2.3) (см. рис.6.2.9), называется фронтально проецирующей гиперплоскостью.

Во фронтально проецирующей гиперплоскости может быть построено трехмерное подпространство, "xt - проекция" которого вырождается в прямую линию. В то же время в подпространстве BCDE может быть построена плоскость, "xu - проекция" которой вырождается в прямую. Такая плоскость FGH представлена на рис.6.2.9.

На чертеже (рис.6.2.10) показано построение точки, лежащей в гиперплоскости общего положения.

Построение выполнено в такой последовательности:

точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит трехмерному подпространству, лежащему в этой гиперплоскости;

проводим через проекцию точки А Ахуu "хu - проецирующую" гиперплоскость Oxu , которая пересекает гиперплоскость Р по трехмерному пространству 1234;

задаем точку в этом трехмерном подпространстве точка принадлежит трехмерному подпространству, если она лежит в плоскости, принадлежащей этому подпространству проводим через проекцию точки Axyt "xt - проецирующую" трехмерную плоскость Rxt , которая пересекает трехмерное подпространство 1234 по плоскости 567.

задаем точку в этой плоскости точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости;

проводим через проекцию точки Ахуz , фронтально проецирующую плоскость еxz , которая пересекает плоскость 567 по прямой 89, и определяем проекцию точки Аху координатной плоскости ху. Аналогично проведено построение и на ортогональном чертеже (рис.6.2.10) с учетом особенностей последнего.



 

6.3. Решение основной позиционной задачи на взаимное пересечение линейных образов пятимерного пространства

На основании изложенного относительно принадлежности точки проецирующей гиперплоскости непосредственно можно сделать вывод, что точка пересечения прямой линии с такой гиперплоскостью определяется точкой пересечения проекции этой прямой со следом названной гиперплоскости.

На рис.6.3.1 показано построение точки К пересечения прямой АВ с "хu - проецирующей" гиперплоскостью R. Проекция точки К определена на пересечении проекции Aхu Bхu заданной прямой со следом rxu  гиперплоскости R. Остальные проекции этой точки определены на одноименных проекциях прямой.

Рассмотрим решение задачи на определение точки пересечения прямой с гиперплоскостью общего положения, заданной пятью точками, не лежащими в одном трехмерном подпространстве.

На ортогональном чертеже (рис.6.3.2) представлены гиперплоскость ABCDE и прямая FG. Решение задачи на построение точки пересечения прямой FG с гиперплоскостью ABCDE может быть выполнено в такой последовательности:

1. Через прямую FG можно провести вспомогательную "хu - проецирующую" гиперплоскость и построить трехмерное подпространство пересечения заданной и вспомогательной гиперплоскостей.

2. Во вспомогательной "xu - проецирующей" гиперплоскости через прямую FG можно провести вспомогательное проецирующее трехмерное подпространство и построить плоскость пересечения этого подпространства с подпространством пересечения заданной и вспомогательной гиперплоскостей.

3. Во вспомогательном проецирующем трехмерном подпространстве через прямую FG можно провести проецирующую плоскость и построить прямую пересечения этой плоскости с плоскостью, построение которой определено п. 2, с заданной прямой.

4. Искомая точка может быть определена как точка пересечения заданной прямой FG с прямой, найденной построением, выполненным в соответствии с п. 3.

На рис.6.3.2 выполнены все перечисленные построения: через прямую FG проведена
"xu - проецирующая" гиперплоскость Q, след которой qxu проходит через проекцию Fxu Gxu названной прямой, и построено трехмерное подпространство 1234 пересечения этой гиперплоскости с заданной гиперплоскостью ABCDE. Во вспомогательной гиперплоскости через прямую FG проведено вспомогательное проецирующее трехмерное подпространство R , проекция rxt  которого совпадает с проекцией Fxt Gxt заданной прямой, и построена плоскость 5-6-7 пересечения этого подпространства с подпространством 1234. Во вспомогательном трехмерном подпространстве 5-6-7 через прямую FG проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость е , фронтальная проекция которой еxz , совпадает с фронтальной проекцией Fxy Gxy данной прямой и построена прямая 8-9 пересечения этой плоскости с плоскостью 5-6-7. Искомая точка К определена как точка пересечения заданной прямой FG с прямой 8-9. Сначала на пересечении соответствующих проекций Fxy Gxy и 8-9 названнык прямых найдена горизонтальная проекция Кху искомой точки К на соответствующих проекциях прямой FG.

Аналогичными построениями подобную задачу можно решить и на аксонометрическом чертеже.

Рассматриваемая задача является основной позиционной задачей на взаимное пересечение линейных образов пятимерного пространства. Действительно, при пересечении плоскости и гиперплоскости в пятимерном пространстве такие два образа пересекаются по прямой. Эта прямая может быть найдена по двум точкам пересечения двух любых прямых заданной плоскости с данной гиперплоскостью, т.е. задача сводится к двукратному решению задачи, рассмотренной на рис.6.3.2. При пересечении трехмерного линейного подпространства и гиперплоскости плоскость взаимного пересечения названных образов может быть определена путем троекратного решения задачи, представленной на рис.6.3.2. При взаимном пересечении двух гиперплоскостей трехмерное линейное подпространство их пересечения может быть найдено путем четырехкратного решения рассмотренной задачи на построение точки пересечения прямой с гиперплоскостью.

Решение перечисленных задач не вызывает затруднений, если гиперплоскость задана следами на координатных плоскостях.

Задача на построение точки пересечения плоскости и линейного трехмерного подпространства может быть решена на основе рассмотренной основной задачи. Для решения такой задачи необходимо:

1. заключить заданное линейное трехмерное подпространство в произвольную вспомогательную гиперплоскость;

2. построить прямую пересечения заданной плоскости с этой гиперплоскостью путем двукратного решения основной задачи;

3. определить искомую точку пересечения построенной прямой и трехмерного подпространства, лежащих в одной вспомогательной гиперплоскости.

Решение такой задачи было рассмотрено в гл. III (см. рис.3.6.3).

Задача на построение прямой взаимного пересечения двух трехмерных линейных подпространств может быть решена аналогично.

На первом этапе решения задачи одно из заданных трехмерных подпространств следует заключить в произвольную вспомогательную гиперплоскость. Далее, как уже отмечалось, необходимо построить плоскость пересечения второго трехмерного подпространства с этой гиперплоскостью путем трехкратного решения основной задачи. Искомую прямую определяют путем пересечения построенной плоскости и заданного первым трехмерного подпространства, лежащих в одной вспомогательной гиперплоскости. Решение такой задачи также рассмотрено в гл. III (см. рис.3.6.3).



 

6.4. О решении метрических задач пятимерного пространства

Длина L некоторого отрезка АВ прямой в пятимерном пространстве аналитически выражается формулой
                      (6.4.1)
 
где хA , уA , zA , tA и uA , а также xB , уB , zB , tB и uB прямоугольные координаты концов отрезка. Следовательно, определение длины отрезка прямой на ортогональном или аксонометрическом чертеже заключается в выполнении геометрических построений, необходимых для отыскания величины, выраженной формулой (6.4.1).

На рис.6.4.1 показано построение длины отрезка прямой общего положения последовательным построением трех прямоугольных треугольников при Axt Bxt проекции заданного отрезка.

При решении метрических задач пятимерного пространства, как и при решении подобных задач в четырехмерном пространстве, можно использовать преобразования проекций, выполняемые путем изменения плоскостей и гиперплоскостей координат. Так, на рис.6.4.1 натуральная величина отрезка прямой АВ определена заменой плоскостей проекций по отношению к координатной плоскости ху. На заданном рисунке натуральная величина отрезка определена путем изменения положения отрезка по отношению к координатной системе Oxyztu, т.е. отрезок прямой АВ путем вращения приведен в положение, параллельное координатной плоскости хu.

Аналогично можно решить задачу на определение величины прямолинейной плоской фигуры, т.е. решить задачу методом замены плоскостей проекции или вращением. На рис.6.4.2 приведено решение задачи определения расстояния от точки до гиперплоскости, заданной следами.

Аналогично можно решить задачу определения расстояния от точки до гиперплоскости, заданной, например, точками. В этом случае плоскость следует перезадать линиями уровня, параллельными координатным плоскостям, и затем путем преобразований сделать ее, как на рис.6.4.2, проецирующей.