5. ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБРАЗОВ

5.1. Кривые линии

В начертательной геометрии четырехмерного пространства кривые линии могут быть разделены на три группы:

1. Кривые, все точки которых лежат в одной плоскости, или плоские кривые.

2. Кривые, все точки которых лежат в одной гиперплоскости.

3. Кривые, точки которых не лежат ни в одной плоскости, ни в одной гиперплоскости, т.е. принадлежат самому четырехмерному пространству.

Особенности изображения плоских кривых на ортогональном и аксонометрическом чертежах обусловлены особенностями изображения плоскостей, в которых лежат рассматриваемые кривые.

Существенный интерес представляют плоские кривые, лежащие в плоскостях, параллельных одной из координатных плоскостей. Особенностью таких кривых является соответственное равенство координат их точек по двум координатным осям. На рис.5.1.1 представлена кривая а, лежащая в плоскости, параллельной координатной плоскости ху. Фронтальная проекция axz такой кривой параллельна оси х, что обусловлено равенством координат точек кривой по оси z; проекция аxt параллельна также оси х, что обусловлено равенством координат точек кривой по оси t, горизонтальная же проекция axy изображается кривой линией.

При рассмотрении вопроса о длине отрезка прямой, а также о величине прямолинейной плоской фигуры было установлено, что если отрезок прямой или прямолинейная плоская фигура параллельна одной из координатных плоскостей, то на ортогональном чертеже одна из проекций, определяющих отрезок прямой или прямолинейную плоскую фигуру, обязательно равна длине этого отрезка, а также соответственно плоской фигуры.

Рассматривая любую плоскую кривую как предельное положение плоской ломаной линии при бесконечно большом числе звеньев этой ломаной, легко прийти к выводу, что если такая кривая параллельна одной из координатных плоскостей, то на ортогональном чертеже одна из трех проекций, определяющих кривую, обязательно выражает эту кривую без искажений.

Таким образом, на рис.5.1.1 проекция axy выражает кривую а без искажения. Если бы кривая была параллельна координатной плоскости xt и хz, то их проекции па эти плоскости также бы проецировались без искажения. Па основании изложенных соображений легко можно выполнить построение любой кривой четырехмерного пространства, лежащей в любой координатной плоскости. Рассмотрим пример такого построения. Пусть на ортогональном чертеже (рис.5.1.2) задан треугольник АВС в общем положении относительно координатной системы Oxyz. Вокруг заданного треугольника требуется описать окружность.

Для решения задачи преобразуем положение треугольника АВС в положение, параллельное координатной плоскости хIV уIV в координатной системе ОхIV уIV z'' t'', как показано на рис.5.1.2. После преобразования одна из проекций окружности изобразится в виде прямой, которая совпадает с проекцией В'''ху А'''ху С'''ху и будет параллельна оси ОхIV, проекция же на
плоскости хIV уIV будет выражать искомую окружность без искажения. Вокруг
проекций АIVху ВIVху СIVху опишем известным образом окружность и обратным преобразованием найдем проекции axy , ахz , axt искомой окружности при исходном задании треугольника в координатной системе Oxyzt.

Аналогично подобная задача может быть решена и на аксонометрическом чертеже. В этом случае преобразование проекций должно выполняться как показано на рис.4.2.3. Кроме того, задача на ортогональном чертеже может быть решена и методом вращения, как показано на рис.4.3.2.

На аксонометрическом и ортогональноом чертежах (рис.5.1.3) задан произвольная кривая а, лежащая в гиперплоскости Р общего положения.

Каждая точка такой кривой построена как точка, принадлежащая гиперплоскости. Это построение дано на рис.5.1.4 для точки А.

На аксонометрическом чертеже (рис.5.1.5,а) проведена произвольная кривая b, лежащая во фронтально проецирующей гиперплоскости Q, а на ортогональном чертеже (рис.5.1.5,б)
кривая С, лежащая в горизонтально проецирующей гиперплоскости S, так как координаты по
оси Oz и по Ot всех точек этой кривой равны, что выражается равенством проекции Схz и Cxt на координатных плоскостях хz и xt.

Точки пересечения кривой с проецирующей гиперплоскостью определяются так же, как точка пересечения прямой с такой же плоскостью. На рис.5.1.6 показано построение точки К пересечения произвольной кривой с "xt - проецирующей" гиперплоскостью. Если требуется определить точку пересечения кривой с гиперплоскостью общего положения, то для решения задачи заданную гиперплоскость общего положения путем преобразований, изложенных ранее, всегда можно сделать проецирующей.



 

5.2. Двумерные поверхности

Двумерной называется такая поверхность, на которой положение каждой точки определяется двумя параметрами. Все поверхности трехмерного пространства двумерны. Простейшей двумерной поверхностью является плоскость.

Чтобы задать на аксонометрическом или ортогональном чертеже двумерную поверхность, необходимо задать элементы этой поверхности, позволяющие определять положение любой точки, лежащей на заданной поверхности.

Рассмотрим задание линейчатых двумерных поверхностей цилиндрической и конической. Двумерная цилиндрическая поверхность, как и в начертательной геометрии трехмерного пространства, может быть задана направляющей кривой и направляющей образующей. Двумерная же коническая поверхность может быть задана направляющей кривой и вершиной поверхности. Задание цилиндрической поверхности представлено на аксонометрическом чертеже (рис.5.2.1). Задание конической поверхности представлено на ортогональном чертеже (рис.5.2.2), где а направляющая кривая, а S вершина поверхности. Если точка лежит на цилиндрической или конической поверхности, то она лежит на одной из образующих названных поверхностей.
На рис.5.2.1 показана точка A, лежащая на образующей цилиндрической поверхности, на
рис.5.2.2 точка В, лежащая на одной из образующих конической поверхности.

Пересечение двумерной поверхности с координатной гиперплоскостью называется следом поверхности на соответствующей координатной гиперплоскости. Двумерная коническая и цилиндрическая поверхности могут быть заданы следом на координатной гиперплоскости и вершиной или соответственно направлением образующей. На коническо-ортогональном чертеже (рис.5.2.3) показано задание конической поверхности следом на координатной гиперплоскости хуz в виде окружности (параллельной координатной плоскости ху) с центром в точке С и вершиной S, лежащей в координатной гиперплоскости хуz. На конической поверхности построена точка D, лежащая на образующей S-1 двумерная поверхность может лежать в одной из гиперплоскостей четырехмерного пространства. Так, например, на ортогональном чертеже (рис.5.2.4) показано задание цилиндрической поверхности, лежащей в гиперплоскости, параллельной координатной гиперплоскости хуz. Все точки, лежащие на такой поверхности, имеют равные координаты по
оси Ot. Если пространством принадлежности двумерной поверхности является само четырехмерное пространство, то такая поверхность пересекается гиперплоскостью по кривой, принадлежащей гиперплоскости сечения. Если же двумерная поверхность лежит в одной из гиперплоскостей четырехмерного пространства, то другой гиперплоскостью она пересекается по кривой, лежащей в плоскости пересечения названных гиперплоскостей.

На ортогональном чертеже (рис.5.2.5) построено сечение двумерной конической поверхности фронтально-проецирующей гиперплоскостью Р. Каждая точка кривой сечения определена как точка пересечения одной из образующих конической поверхности с заданной гиперплоскостью.

Если гиперплоскость сечения занимает общее положение относительно координатной системы Oxyzt, то для построения сечения заданной поверхности такой гиперплоскостью целесообразно использовать преобразование заменой плоскостей проекций или вращением.



 

5.3. Гиперконус, гиперцилиндр и гипервинтовая линия

Гиперповерхностью четырехмерного пространства называется такая поверхность, на которой положение каждой точки определяется трем параметрами. Рассматривая гиперконус и гиперцилиндр как тела которые ограничивают гиперконическую и гиперцилиндрическую поверхности, можно заметить, что их размерность равна четырем. Рассмотрим гиперконус и гиперцилиндр как тела, ограниченные гиперконической и гиперцилиндрической поверхностями соответственно. Возьмем в четырехмерном пространстве шар. Пусть шар будет параллелен гиперплоскости хуz (рис.5.3.1). У него три взаимно-перпендикулярные оси соответственно параллельны осям х, у, z. Имеется произвольная точка S. На рис.5.3.1 она имеет координаты х, у, z те же, что и центр шара. Координата t точки S отличается от координаты t центра шара четырехмерного пространства. Если все точки гиперсферы (гиперповерхность, ограничивающая гипершар) соединить прямыми с S, то образуется пповерхность гиперконуса. Такая гиперповерхность представлена на наглядном чертеже на всех координатных гиперплоскостях
хуz, xyt, xzt, zty, а также на координатных плоскостях ху, xz, xt, yz, yt. Так, если отрезок от точки S до основания гиперконуса расположен перпендикулярно гиперповерхности xyz, то он вырождается и на xyz совпадает с центром основания (гиперсферы). Как известно, в четырехмерном пространстве геометрический объект вполне определяется тремя проекциями. На рис.5.2.2,а показан гиперконус своими проекциями на двух координатных гиперплоскостях и одной проекцией на координатной плоскости ху. На рис.5.3.2,б, в даны проекции гиперконуса на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Точка гиперконуса S называется вершиной гиперконуса, сфера его направляющей поверхностью, а прямые, соединяющие точку S с точками сферы, образующими гиперповерхности. Задание гиперконуса его направляющей сферой и вершиной позволяет определить положение каждой точки, лежащей на заданной поверхности. Для построения такой точки необходимо предварительно построить одну из образующих поверхностей, а на ней искомую точку.

На рис.5.3.2,в построена образующая l, а на этой образующей точка А. Аналогично может быть построена любая другая точка, лежащая на поверхности гиперконуса. Любая параллель сферы и вершина S определяют конус, принадлежащий рассматриваемой гиперповерхности. Аналогично может быть представлен любой другой трехмерный конус (как объем), принадлежащий тому же гиперконусу. Проекции гиперконуса на координатные плоскости определяют очерк гиперконуса на эти плоскости. В качестве направляющей поверхности гиперконуса была выбрана сфера частного положения, лежащая параллельно координатной гиперплоскости хуz. Коническая же гиперповерхность общего вида может быть задана любой двумерной направляющей поверхностью общего вида и точкой, лежащей вне этой поверхности вершиной гиперповерхности.

Если направляющая двумерная поверхность и вершина лежат в одной гиперплоскости четырехмерного пространства, то в этой гиперплоскости они определяют криволинейную гиперплоскую фигуру, подобно тому как в трехмерном пространстве кривая линия, лежащая в некоторой плоскости, характеризует в ней криволинейную плоскую фигуру.

На рис.5.3.3 изображен гиперконус, у которого основание (направляющая гиперповерхность) также расположено параллельно координатной гиперплоскости хуz, но вершина S по сравнению с рис.5.2.2, выбрана таким образом, что координата t у нее имеет большее значенверхности вершиной гиперповерхности. В этом случае у гиперконуса отрезок OS не выражается на хуz, а имеет свою проекцию Sxyz Oxyz.

При пересечении гиперповерхности гиперплоскостью определяется двумерная кривая поверхность. Если заданной гиперповерхностью является коническая гиперповерхность, то двумерная поверхность, которая получается в результате пересечения такой линейчатой гиперповерхности гиперплоскостью, может быть построена в результате пересечения образующих заданной гиперповерхности с данной гиперповерхностью.

На аксонометрическом и ортогональном чертежах (рис.5.3.3) показано построение сечения b поверхности гиперконуса с направляющей сферой, лежащей параллельно координатной гиперплоскости xyz. Для решения такой задачи необходимо построить точки пересечения образующих гиперконуса с плоскостью, как показано на рис.5.3.3. Аналогично может быть выполнено построение сечения поверхности гиперконуса другими проецирующими гиперплоскостями.

Если гиперплоскость сечения занимает общее положение относительно координатной системы Oxyz, то для решения задачи может быть использовано преобразование чертежа заменой плоскостей проекций таким образом, чтобы преобразовать данную гиперплоскость в проецирующую.

Если вершиной гиперконуса является несобственная точка Е 4, а направляющая по-прежнему двумерная поверхность, то прямые, проходящие через такую несобственную точку и каждую точку двумерной поверхности, образуют поверхность гиперцилиндра (рис.5.3.4). Все образующие такой гиперповерхности параллельны друг другу. Направляющая поверхность сфера гиперцилиндра расположена параллельно координатной гиперплоскости хуz, направляющие цилиндра расположены параллельно оси t, которые вырождаются при проецировании на xyz.

На рис.5.3.5 заданный гиперцилиндр показан проекциями на двух координатных гиперплоскостях xyz и xyt на наглядном аксонометрическом и ортогональном чертежах. Подобно гиперконусу гиперцилиндр может задаваться и в общем виде.

Гипервинтовая поверхность. Гипервинтовой поверхностью называется поверхность, образованная какой-либо линией (образующей при ее винтовом движении).

Дано: z = f (x)

Параметрическое уравнение каркасной поверхности вращения

На гипервинтовой поверхности лежат два семейства образующих кривых и семейство винтовых параллелей. Из этих линий может быть составлен каркас поверхности.

Параметрическое уравнение каркаса гипервинтовой поверхности

Гипервинтовая линия. Гипервинтовая линия, образованная движением точки по образующей гиперцилиндра вращения, которая, в свою очередь, равномерно вращается вокруг оси цилиндра

h шаг гипервинтовой линии,

  параметр гипервинтовои линии.
 

Уравнение гипервинтовой линии в параметрической форме имеет следующий вид:

где j угол поворота вокруг оси z.

Для получения уравнения проекции винтовой линии на плоскости xz надо исключить параметр j из первого и четвертого уравнений, получим уравнение синусоиды:

При развертывании цилиндрической винтовой линии на развертке она представляется прямой линией, наклонной под углом a горизонтальной прямой. Угол a называется углом подъема винтовой линии и равен углу наклона касательной t в любой точке винтовой линии. Кривизна и кручение во всех точках постоянны.



 

5.4. Шар и гипершар

Сфера это двумерная поверхность, на которой положение каждой точки определяется двумя параметрами. Все поверхности трехмерного пространства двумерны. Простейшей двумерной поверхностью является плоскость. В четырехмерном пространстве сферу удобнее рассматривать как шар, т.е. как трехмерный объект, который можно задавать тремя пересекающимися прямыми, не лежащими в одной плоскости.

На рис.5.4.1,а,в,с показано задание двумя пересекающимися прямыми под прямым углом круга, шара и гипершара. Гипершар как объем является уже четырехмерным объектом. Он определяется четырьмя пересекающимися под прямым углом прямыми, которые могут быть выбраны за координатные оси четырехмерного пространства. Гипершар имеет шесть координатных (больших) кругов в координатных плоскостях ху, хz, xt, yz, yt, zt и четыре трехмерных шара в координатных гиперплоскостях хуz, xyt, xzt, уzt. На рис.5.1.1с,д изображен гипершар, заданный четырьмя пересекающимися прямыми, и три больших шара в координатных плоскостях xzt, xyt, yzt. Рассмотрим изображение трехмерного шара в четырехмерном пространстве. По отношению к координатной системе Oxyzt шар (как и гиперплоскость) может занимать различные положения:

1. может быть не параллелен ни одной из координатных гиперплоскостей,

2. может быть параллелен одной из координатных гиперплоскостей, трем координатным осям, определяющим эту гиперплоскость,

3. может быть параллелен координатной плоскости (двум осям, определяющим эту координатную плоскость),

4. может быть параллелен координатной оси.

Рассмотрим последовательно перечисленные случаи. Шар занимает общее положение, т.е. в шаре нельзя подобрать три взаимно перпендикулярные оси, которые были бы параллельны трем осям какой-либо координатной плоскости. В данном случае шар будет проецироваться на координатные гиперплоскости в эллипсоиды. Если на шаре нельзя подобрать три взаимно перпендикулярные оси, шар занимает общее положение, то две оси и, тем более, одну ось, параллельные координатным осям, выбрать возможно. В этом случае, если две оси подобраны параллельно, то соответствующее сечение шара будет проецироваться в натуральную величину, т.е. в круг, другие сечения в эллипсы, т.е. получим проекцию шара на координатные гиперплоскости в виде эллипсоида, у которого одно сечение является окружностью, два других эллипсы. Аналогично может быть изображен шар, проецирующийся на координатную гиперплоскость в натуральную величину.

На рис.5.4.2 дано наглядное изображение шара в ортогональной системе координат xyzt. Шар расположен так, что его три взаимно пересекающиеся оси параллельны трем осям х, у, z системы координат xyzt, т.е. шар расположен параллельно координатной гиперплоскости. Данный шар проецируется на гиперплоскость xyz в натуральную величину, т.е. в шар. На рисунке показаны проекции шара и на остальные координатные гиперплоскости. В этом случае шар проецируется в круг, т.к. одна из осей шара совпадает с тем или иным направлением проецирования и вырождается. Данный шар расположен в гиперплоскости уровня по отношению к xyz и имеет постоянное значение по оси t, т.е. на координатную плоскость xt шар проецируется в линию, параллельную оси х.

На рис.5.4.3 дано каждое изображение гипершара в ортогональной системе координат xyzt, заданное шестью большими кругами, параллельными координатным плоскостям ху, xz, xt, уz, yt, zt. Гипершар проецируется на все координатные гиперплоскости большими шарами, которые проецируются на кооординатные плоскости большим кругами. В четырехмерном пространстве геометрический объект вполне определяется тремя проекциями. Так, на рис.5.4.4 изображен шар в четырехмерном пространстве, заданный в двух координатных гиперплоскостях xyz, xyt соответственно на наглядном, аксонометрическом и ортогональном чертежах. Данный шар расположен параллельно гиперплоскости xyz и поэтому спроецировался на нее в натуральную величину. На гиперплоскость xyt шар спроецировался в круг, на xt в прямую линию. На ортогональном чертеже шар изображен своими большими окружностями. Сечение рассматриваемой поверхности в какой-либо гиперплоскости, например, гиперплоскости уровня (параллельной xyt ) Рхz (рис.5.4.4,с), представляет собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной координатной плоскости ху, и проекция ее на ортогональном чертеже представлена без искажения. Любая точка, например, точка A, лежащая на построенной окружности, принадлежит заданной поверхности. Так как шар лежит в гиперплоскости xyz, т.е. в трехмерном пространстве (зная, что все точки имеют одну и ту же координату по оси t), то ее можно рассматривать как в начертательной геометрии трехмерного пространства. На рис.5.4.5 изображен гипершар, заданный также в координатных гиперплоскостях xyz, xyt соответственно на наглядном, аксонометрическом и ортогональном чертежах. Гипершар на рис.5.4.5 задан шестью большими кругами, параллельными координатным плоскостям (эти большие круги проецируются в натуральную величину на соответствующие координатные плоскости). В гипершаре всегда можно найти три оси, которые были бы параллельны трем координатным осям (четвертая ось шара идет также параллельно четвертой координатной оси, но она при проецировании вырождается), эти три оси определяют большой шар, который проецируется на соответствующую гиперплоскость в натуральную величину. Рассмотрим гипершар в аналитической интерпретации. Пусть точка С — центр гипершара, а его координаты по осям Ох, Оу, Оz и Ot равны соответственно а, b,с и d. Если радиус гипершара принять равным R, то расстояние произвольной точки М рассматриваемого гипершара с текущими координатами х, у, z и t до центра этой гиперплоскости выражается формулой

                                                                       (5.4.1)
 
Но расстояние между точками М и С выражается через значения их координат:
 
                                      (5.4.2)
 
Принимая во внимание равенство (5.4.1) и возведя обе части последнего в квадрат, получаем уравнение гипершара (поверхности)
 
                                         (5.4.3)
 
Если центр гипершара находится в начале координат, то a = b = c = d = 0 и уравнение (5.4.3) принимает более простой вид:
 
                                                            (5.4.4)
 
Рассмотрим сечения гипершара разными гиперплоскостями. В дальнейшем такие сечения будем называть гиперсечениями. Гиперсечение t = 0, или гиперсечение координатной гиперплоскостью хуz. При t = 0 уравнение (5.4.3) принимает вид:
 
                                               (5.4.5)
 
При R 2 > d 2 гиперсечением является обычный шар в трехмерном координатном пространстве хуz (рис.5.4.6). При R 2 = d 2 гиперсечением является шар с нулевым радиусом, т.е. точка (рис.5.4.5). При R 2 < d 2 гиперсечением является мнимая поверхность, которая может быть названа мнимым шаром. Радиус такого шара  Гиперсечение t = d. При t = d уравнение (5.4.3) принимает вид: (х - а) 2 + (у - b) 2 + (z - с) 2 = R 2, это уравнение является уравнением шара, у которого координаты любой точки по оси Qt равны величине d и радиус которого равен R. Такой шар представлен на ортогональном чертеже (рис.5.4.7). По условию координаты х, у, z и t его центра O (Oхz, Оху, Oxt), равные соответственно а, b, с, d, имеют положительные значения.

Гиперсечение t = k. При t = k уравнение (5.4.3) принимает вид:
(х - z) 2 + (у - b) 2 + (z - с) 2 = R 2 - (k - d) 2 это выражение является уравнением шара (рис.5.4.8),
у которого координата любой точки по оси Ot равна К, а радиус равен , при этом, чтобы рассматриваемое гиперсечение не явилось мнимой поверхностью, необходимо соблюдать следующее условие: (d - R) < k < (d + R), если k = d - R или k = d + R, то гиперсечением является шар с нулевым радиусом, т.е. точка. На рис.5.4.7 при положительных значениях величин а, b, с и d дано гиперсечение t = d. Это шар с радиусом, равным R. На рис.5.4.8 показано построение гиперсечений t = k при k > d. Это также шар с радиусом r, найденный из условия: , как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой R и вторым катетом, равным: k - d. Аналогичными построениями могут быть найдены проекции гиперсечения t = k и при k < d. Таким образом, ортогональные проекции на координатную гиперплоскость хуz гиперсечений t = k являются шарами, центры которых расположены в точке с координатами а, b, с, а радиусы изменяются от 0 до R и от R до 0. Шары с нулевым радиусом имеют место при значениях k = d - R и k = d + R, шар же радиусом R при k = d дан на рис.5.4.7.

На рис.5.4.9 даны различные положения гипершара при изменении величины С. Гипресечение
z = Q. При z = 0 уравнение (5.4.3) имеет вид: (x - a) 2 + (y - b) 2 + (t - d) 2 = R 2 - c 2, если R 2 > c 2 (рис.5.4.9), то гиперсечением является шар в трехмерном координатном пространстве хуz. Радиус r такого шара определяется из выражения , а центр шара имеет координаты х, у и t, равные соответственно a, b и d. Если R = c (рис.5.4.9), то гиперсечением является шар с нулевым радиусом, или точка. Координаты х, у и t этой точки равны соответственно a, b и d. При R 2 < с 2 гиперсечением является мнимая поверхность. Гиперсечение z = с. При z = с уравнение (5.4.3) принимает вид (рис.5.4.10):

Это уравнение является уравнением шара, координата любой точки по оси Оz равна m. Радиус такого шара , а центр имеет координаты по осям Ох, Оy, Ot, равные соответственно а, b, d (рис. 5.4.11). Чтобыгиперсечение z = m не являлось мнимой поверхностью, необходимо соблюдение условия: (с - R) < m < (c + R). Гиперсечение у = n (рис.5.4.12). При у = n уравнение (5.4.3) представляется следующей зависимостью:
(х - а) 2 + (z - с) 2 + (t - d) 2 = R 2 - (n - b) 2 данное уравнение выражает шар, у которого координата любой точки по оси Оу равна величине n. Радиус такого шара , а центр имеет координаты по осям Ох, Оz и Ot, равные соответственно а, с и d. Чтобы рассматриваемое гиперсечение было действительной поверхностью, должно быть соблюдено условие:

Аналогично можно построить гиперсечение х = l. Следовательно, гипершар можно рассматривать как проекции его больших шаров на координатные подпространства и больших кругов на координатные плоскости. Кроме того, гиперсечения гиперплоскостями уровня (гиперплоскость параллельная координатной гиперплоскости) образуют в других координатных подпространствах шары, радиусы которых изменяются от 0 до R .



 

5.5. Гиперплоские сечения гиперповерхностей и построение точек пересечения прямой с гиперповерхностью

Рассмотрим гиперплоские сечения для гиперконуса, гиперцилиндра и гипершара. Для гиперцилиндра и гипершара дополнительно определим точки пересечения с прямой. Направляющей поверхностью для гиперконуса и гиперцилиндра является двумерная поверхность, в частном случае сфера, которая может лежать в какой-либо координатной гиперплоскости, т.е. занимать частное положение и не лежать ни в одной координатной гиперплоскости занимать общее положение.

Сфера, не лежащая параллельно координатной гиперплоскости, не может иметь проекции в виде окружности на трех координатных плоскостях (ху, хz, xt) подобно тому, как окружность в трехмерном пространстве не может иметь проекции в виде окружности на двух координатных плоскостях. В этом случае, если заданы проекции очерков в виде окружности, имеем в основании эллипсоид.

На ортогональном чертеже (рис.5.5.1) показано построение сечения b поверхности гиперконуса с направляющей сферой "xt - проецирующей" гиперплоскостью Q. Сфера лежит в координатной гиперплоскости xyt. Для решения такой задачи в заданной гиперплоскости выбраны три двумерных конуса, направляющими которых являются окружности а, b, с, лежащие на поверхности направляющей сферы, а вершинамиточка S, и по точкам пересечения образующих этих конусов с заданной гиперплоскостью построены кривые пересечения поверхностей таких конусов гиперплоскостью Q, как это показано на рис.5.2.5. На рис.5.5.1 показан ряд таких точек. Четыре из них обозначены римскими цифрами I, II, III, IV. Кривая Кху, обертывающая горизонтальные проекции построенных кривых, определяет очерк горизонтальной проекции поверхности сечения, кривая же lхzочерк фронтальной проекции bхz поверхности сечения. Проекция bxt сечения совпадает со следом qxt гиперплоскости сечения на его участке, ограниченном точками I и II.

Аналогично может быть выполнено построение сечения поверхности гиперконуса
"xt - проецирующей" гиперплоскостью и на аксонометрическом чертеже с учетом особенностей последнего.

Если гиперплоскость сечения занимает общее положение относительно координатной системы Oxyzt, то для решения задачи может быть использовано преобразование или замена плоскостей проекций, или вращение, рассмотренные ранее.

На ортогональном чертеже (рис.5.5.2) показано построение точек пересечения прямой АВ с поверхностью гиперцилиндра Ф, направляющей поверхностью которого является сфера a, лежащая в гиперплоскости xyt. Решение задачи выполнено в такой последовательности:

1. Через заданную проекцию проведена вспомогательная "xt - проецирующая” гиперплоскость Q.
На чертеже. показан ее след qxt , проходящий через проекцию Axt Bxt на координатной плоскости xt прямой АВ.

2. Построена двумерная поверхность b пересечения заданной гиперповерхности Ф вспомогательной гиперплоскостью Q. Поверхность определена кривыми а', b', с', пересечена с гиперплоскостью Q поверхностей двумерных цилиндров с направляющими окружностями a, b, с, лежащими на поверхности направляющей сферы a в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

Построение этих кривых выполнено по точкам пересечения двумерных цилиндров с гиперплоскостью Q, как это было сделано на рис.5.5.1.

3. В гиперплоскости Q через прямую АВ в координатной гиперплоскости хуz проведена вспомогательная проецирующая плоскость ехz , фронтальная поверхность которой проходит через фронтальную проекцию Ахz Вхz заданной прямой.

4. Построена кривая ixy пересечения поверхности с фронтально проецирующей плоскостью еxz . Эта кривая определена точками (7-12) пересечения названной вспомогательной плоскости с кривыми а', b', с'.

5. Искомые точки J и J' определены как точки пересечения заданной прямой АВ с кривой i. На пересечении горизонтальной проекции Аху Вху прямой с одноименной проекцией ixy кривой i найдены горизонтальные проекции Jxy и J'xy названных точек, а затем фронтальные Jxz и J'xz, и на плоскости xt — Jxt и J'xt проекции тех же точек на соответствующих проекциях заданной прямой.

Если на рис.5.5.2 гиперцилиндр задан направляющей сферой, лежащей в координатной гиперплоскости хуz, то на рис.5.5.3 гиперцилиндр задан направляющим эллипсоидом, очерк которого на координатных плоскостях ху, хz, xt определен окружностями. Порядок построения точек пересечения прямой с данным гиперцилиндром аналогичен рис.5.5.2.

При решении данных задач на аксонометрическом чертеже может быть использована та же последовательность построений с учетом особенностей этого чертежа.

Гиперсфера, как следует из ее уравнения, представляет собой гиперповерхность второго порядка и, следовательно, пересекается прямой линией в двух точках.

Для описания точек пересечения прямой с гиперплоскостью используется следующий прием:

1. через заданную прямую проводят вспомогательную гиперплоскость и определяют двумерную поверхность пересечения этой гиперплоскости с заданной гиперповерхностью;

2. во вспомогательной гиперплоскости через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и находят линию пересечения названной двумерной поверхности с этой плоскостью;

3. искомые точки определяют на пересечении построенной линии с заданной прямой.

На рис.5.5.4 представлены гипершар Ф и прямая АВ, параллельная координатной плоскости ху.

Для отыскания точек 1 и 2 пересечения заданной прямой с гиперсферой на чертеже выполнены следующие построения:

1. через заданную прямую АВ проведена гиперплоскость Q, параллельная координатной гиперплоскости хуz, и построена двумерная сфера b сечения гиперсферы такой гиперплоскостью; qxt след гиперплоскости Q на плоскости xt;

2. в гиперплоскости Q через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость, фронтальная проекция которой совпадает с фронтальной проекцией Ахz Вхz заданной прямой и построена кривая l пересечения поверхности с этой плоскостью;

3. искомые точки 1 и 2 определены как точки пересечения заданной прямой АВ с кривой l: сначала найдены горизонтальные 1ху, 2ху проекции этих точек, а затем остальные. Простота построений необходимых решений рассматриваемой задачи на ортогональном чертеже обусловлена частным положением прямой относительно координатной системы.

Более общий случай решения аналогичной задачи представлен на рис.5.5.4,б, где прямая АВ занимает общее положение относительно координатной системы.

Для нахождения точек 1 и 2 пересечения заданной прямой с заданной гиперсферой сначала путем перемены положения координатной плоскости проекции в координатной гиперплоскости у = 0 прямая АВ приведена в положение, параллельное координатной плоскости x z' y. Далее выполнены следующие построения:

1. через заданную прямую проведена вспомогательная гиперплоскость Р, параллельная координатной плоскости ху' и построен двумерный шар axz сечения гиперсферы такой гиперплоскостью; Pxzслед названной гиперплоскости;

2. в гиперплоскости Р через прямую АВ проведена вспомогательно проецирующая плоскость, проекция е'xz которой в системе координат x z' y' t совпадает с проекцией А'хz В'хz заданной прямой, и построена кривая линия l пересечения поверхности a с этой плоскостью;

3. искомые точки 1 и 2 определены как точки пересечения заданной прямой АВ с кривой l: сначала построены проекции 1'ху и 2'ху этих точек, а затем все остальные.

При определении видимости прямой относительно гиперсферы в системе координат xyzt использован тот же принцип, что и в начертательной геометрии трехмерного пространства. При этом видимость фронтальной проекции и "xt - проекции" оценивается по расположению горизонтальных проекций 1ху и 2ху точек 1 и 2 относительно горизонтальной проекции линий очерка с и b. Видимость горизонтальной проекции прямой в гиперплоскости xyz оценивается по расположению фронтальных проекций 1хz и 2хz точек 1 и 2 относительно фронтальной проекции линии очерка а.

Если гиперсечения гиперсферы гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям, на ортогональном чертеже можно легко построить благодаря проецированию геометрических характеристик этих гиперсечений на определенные координатные плоскости без искажения, то ортогональные проекции гиперсечения гипершара проецирующими гиперплоскостями, а также гиперплоскостями общего положения в заданной координатной системе будут искажены. Следовательно, чтобы построить гиперсечение гиперсферы проецирующей гиперплоскостью, а также гиперплоскостью общего положения, необходимо преобразовать такую гиперплоскость в гиперплоскость, параллельную какой-нибудь координатной гиперплоскости.

Решение задачи на построение гиперсечения гипершара "xt - проецирующей" гиперплоскостью Р представлено на рис.5.5.5. На этом чертеже гиперплоскость Р преобразована в гиперплоскость, параллельную координатной гиперплоскости x' z' y' t, и в координатной системе x' z' y' t построено гиперсечение ( сфера, заданная линиями очерков а' и b' ). Обратным преобразованием проекции гиперсечения a построены в координатной системе xyzt. При этом горизонтальная проекция линии 1-2-3-4 изображена прямой линией, а 1-6-2-5 — эллипсом; на горизонтальной плоскости наоборот: 1-2-3-4 эллипс, 1-6-2-5 прямая. Аналогично может быть построено гиперсечение гиперсферы другими проецирующими плоскостями. При этом новая координатная система должна быть выбрана так, чтобы заданная гиперплоскость оказалась преобразованной в гиперплоскость, параллельную новой координатной гиперплоскости, где должно быть построено гиперсечение, и обратным преобразованием должно быть построено гиперсечение в исходной системе xyzt.

Для построения гиперсечения гипершара гиперплоскостью общего положения эта гиперплоскость должна быть преобразована в гиперплоскость, параллельную координатной гиперплоскости.