4. РЕШЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

4.1. Изменение проекций геометрических образов

Решение той или иной метрической задачи может быть достигнуто путем изменения положения геометрических образов по отношению к координатной системе Oxyzt аналогично тому, как это осуществляется в начертательной геометрии трехмерного пространства.

Будем считать, что абсолютное положение геометрических образов в четырехмерном пространстве неизменно. В таком случае изменение положения названных образов по отношению к координатной системе Oxyzt может быть осуществлено за счет изменения положения этой системы.

Покажем, как могут быть выполнены такие изменения и как они отображаются на наглядном, аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Представим, что в координатной системе Oxyzt положение начала координат О и оси Ot осталось неизменным, а вместо осей Ох, Оу и Оz в гиперплоскости t = 0 выбраны три новые оси
Ох', Оу', Оz', перпендикулярные друг другу и оси Ot (рис.4.1.1). В таком случае в четырехмерном пространстве выбрана новая прямоугольная система координат Ox' y' z' t.

Если точку А четырехмерного пространства проецировать ортогонально по направлению SҐ || t, параллельному оси Ot, на новую координатную гиперплоскость x' y' z', то абсолютное положение проекций Ахуz будет таким же, как и при проецировании на координатную гиперплоскость хуz. Эта особенность обусловлена тем, что в обоих случаях имеет место проецирование одной и той же точки четырехмерного пространства по одному и тому же направлению и на одну и ту же координатную гиперплоскость t = 0. Различие заключается в том, что положение проекции Ахуz на гиперплоскости хуz определяется координатами хA, уA и zA, а на гиперплоскости x' y' z' координатами хA, уA и zA, которые имеют значения, соответственно отличные от значения первых координат.

Если теперь проекции Аx' y' z' и Ax' y' t' спроецировать ортогонально на координатные плоскости х' у' и x' z', x' t и совместить эти плоскости, то получим ортогональный чертеж, который отличается от ортогонального чертежа, полученного в результате проецирования проекций Ахуz и Axyt на плоскости ху, хz и xt, тем, что длины отрезков, выражающих значения координат хA', уA' и zA' точки А, отличны от длин отрезков, выражающих значения координат хA, уA и zA соответственно.

Значения координаты tA на обоих чертежах одинаковы. На рис.4.1.1 все построения, выполненные в координатной системе Ox' y' z' t, показаны тонкими линиями.

Если в координатной гиперплоскости хуz выбрать произвольную точку О' и провести через нее прямую, перпендикулярную к названной гиперплоскости, то такая прямая будет параллельна оси Ot, ибо известно, что если две прямые перпендикулярны к одной и той же гиперплоскости, то они параллельны между собой. Обозначим эту прямую O' t'. Через ту же точку О' в гиперплоскости xyz можно также провести три прямые O' х', O' у' и O' z', перпендикулярные друг к другу и проведенной ранее прямой. Таким путем может быть образована новая прямоугольная координатная система O' x' y' z' t'.

Если теперь ту же точку A четырехмерного пространства проецировать ортогонально на координатную гиперплоскость x' y' z' в новой системе координат O' x' y' z' t, то абсолютное положение ее проекции Ax' y' z' останется таким же, как и при проецировании на координатную гиперплоскость хуz в системе Oxyzt. Эта особенность обусловлена тем, что во всех трех случаях проецирование одной и той же точки осуществляется по одному и тому же направлению на одну и ту же координатную гиперплоскость t = 0. При ортогональном проецировании проекций Ахуz и Axyt на координатные плоскости х' у', x' z' и x' t' и последующем совмещении этих плоскостей образуется ортогональный чертеж. На этом чертеже значения координат точки по осям O' х', O' у' и O' z' отличаются от значений координат той же точки по осям Ох, Оу и Оz на ортогональном чертеже, образованном координатными плоскостями ху и хz, значения же координаты точки по оси O't равны значению ее координаты по оси Ot.

Изменение координат точек проецируемого образа четырехмерного пространства характеризует изменение его положения по отношению к координатной системе, выбранной в этом пространстве. Таким образом, можно, не изменяя положения геометрического образа в четырехмерном пространстве, изменить его положение по отношению координатным плоскостям и гиперплоскостям за счет изменения координатной системы в гиперплоскости t = 0. При этом, однако, следует иметь в виду, что возможно лишь такое изменение положения геометрического образа, которое не связано с изменением расстояния точек этого образаа до координатной гиперплоскости t = 0.

Поскольку абсолютное положение ортогональной проекции точки, а следовательно, и любого другого геометрического образа на гиперплоскости t = 0 остается неизменным независимо от положения в этой гиперплоскости осей координат Ох, Оу и Oz, очевидно, что для преобразования проекций на ортогональном чертеже может быть использован тот же принцип, что и в начертательной геометрии трехмерного пространства. Покажем, каким образом это осуществляется.

Пусть на рис.4.1.2 заданы проекции Ахуz , Axyt и Аху некоторой точки А четырехмерного пространства, отнесенной к системе координат Oxyzt. Выберем вместо координатной системы Oxyz новую прямоугольную координатную систему O' x' y' z' t' так , чтобы плоскость х' у' совпала с плоскостью ху, а направление оси Ot' совпадало с направлением оси Ot. Положение начала координат О' новой системы выбираем произвольно. Если теперь точку А четырехмерного пространства проецировать ортогонально на координатные гиперплоскости x' y' z' и x' y' t' в новой системе координат O' x' y' z' t', то абсолютное положение ее проекции Ах' у' z' и Ах' у' t' останется таким же, как и при проецировании на координатные гиперплоскости хуz и xyt в системе Oxyzt. Это обусловлено тем, что проецирование одной и той же точки осуществляется по одному направлению, параллельному Oz (Oz' || Оz) на координатную гиперплоскость xyt и по одному направлению, параллельному Ot (Ot' || Ot) на координатную гиперплоскость xyz. При такой заммене значения координат zA и tA старой системы равны соответствующим значениям z'A и t'A, новой системы. На рис.4.1.2 показаны построения точек Ax' z' и Ax' t' в координатных плоскостях х' z' и x' t' новой системы O' x' y' z' t'.

На рис.4.1.3,а,б дано изображение данных преобразований на разнесенном аксонометрическом и разнесенном ортогональном чертежах.

Особенности построения нового разнесенного аксонометрического чертежа системы O' x' y' z' t', состоящего из двух трехмерных изображений x' y' z' и x' z' t' и имеющих общую координатную плоскость х' z', вполне просматривается на чертеже (рис.4.1.3). Направление осей y' и t' может быть выбрано и в противоположные стороны. При построении проекции Аx' z' t' координаты x' z' определяются из координатной гиперплоскости x' y' z', а значение координаты t' снимается из гиперплоскости xyt.

Для образования ортогонального чертежа совмещаем координатную плоскость х' z' с плоскостями х' у' и x' t' (рис.4.1.3,б). Так как проекция Ax' z' повторяется дважды, то ее можно не изображать. Аналогичные преобразования можно делать и по отношению к другим координатным гиперплоскостям.



 

4.2. Определение длины отрезка прямой

Длина L некоторого отрезка АВ прямой в четырехмерном пространстве аналитически выражается формулой:
                                  (4.2.1)
 
где хA, уA, zA, tA, xB, yB, zB, tB координаты концов отрезка.

Таким образом, определение длины отрезка прямой на ортогональном или аксонометрическом чертеже заключается в выполнении геометрических построений, необходимых для отыскания величины, которая выражается формулой (4.2.1).

Пусть в четырехмерном пространстве задан отрезок АВ прямой общего положения (4.2.1). Этот отрезок можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника АВС, прямой угол которого образован проектирующим лучом А Ахуz и прямой ВС, проведенной параллельно проекции Ахуz Вхуz отрезка АВ. Таким образом, один из катетов (ВС) треугольника АВС равен
Ахуz Вхуz , а второй катет () равен разности координат точек A и В (tA - tB). В свою очередь проекция Ахуz Вхуz является гипотенузой прямоугольного треугольника Ахуz Вхуz Dхуz в координатной гиперплоскости хуz. Прямой угол треугольника Ахуz Вхуz Dхуz образован проектирующим лучом Вхуz Вху и прямой Ахуz Dхуz (рис.4.2.1).

На этом основании построение на ортогональном чертеже (рис.4.2.2) натуральной величины отрезка АВ производим так: принимаем горизонтальную проекцию Аху Вху за первый катет прямоугольного треугольника, проводим через точку А перпендикуляр к АхуВху, откладываем на нем от точки Аху отрезок А1 Аху, равный разности координат zB и zA точек В и А, и полученную точку A1 соединяем с точкой Вху прямой А1 Вху. Гипотенуза А1Вху построенного прямоугольного треугольника равна натуральной величине проекции Ахуz Вхуz в координатной гиперплоскости xyz. Далее принимаем отрезок А1Вху за новый катет прямоугольного треугольника, проводим через точку А1 перпендикуляр к А1 Вху, откладываем на нем отрезок A1 А2, равный разности координат
tA и tB точек A и В и полученную точку А2 соединяем с точкой Вху прямой А2 Вху. Гипотенуза А2Вху построенного треугольника равна натуральной величине отрезка АВ в четырехмерном пространстве.

Таким образом, определение длины отрезка прямой общего положения в четырехмерном пространстве на ортогональном чертеже геометрически выразилось последовательным построением двух прямоугольных треугольников при горизонтальной проекции заданного отрезка.

Последовательное построение двух прямоугольных треугольников, необходимых для определения длины отрезка АВ, можно выполнить и при фронтальной проекции Ахz Вхz этого отрезка. Действительно, длина в этой проекции отрезка Ахz Вхz выражается формулой:

Если проекцию Ахz Вхz принять за один из катетов треугольника, а в качестве другого катета отложить длину Axt2, равную величине tA - tB, то гипотенуза такого треугольника представляет проекцию отрезка АВ на координатную плоскость xzt, длина которого выражается формулой:

Приняв далее отрезок А1 Вхz за один из катетов прямоугольного треугольника и отложив в качестве второго катета отрезок А1 А2, равный величине yA - yB , можно построить гипотенузу этого треугольника, длина которой будет искомой длиной L отрезка АВ.

Особенность геометрических построений, необходимых для определения длины отрезка прямой на аксонометрическом чертеже, обусловлена видом аксонометрии. Так, например, отрезок АВ (рис.4.2.3) представлен в косоугольной изометрической проекции, которая характеризуется
углом 90° между осями Оx и Oz; Ox и Ot, а также показателями искажения по всем осям, равным единице. В таком случае длина Axt Bxt проекции отрезка АВ на координатную плоскость xt выражается формулой:

Следовательно, проекция Axt Bxt на аксонометрическом чертеже может быть принята за исходный катет для последовательного построения двух прямоугольных треугольников.

При построении первого в качестве второго катета отложен отрезок Axt A1. При построении второго прямоугольного треугольника длина катета А1 А2 равна длине отрезка Ахуz 2. Гипотенуза
А2 Вxt этого треугольника равна длине L отрезка АВ.

Если в формуле (4.2.1) zA - zB = 0, а также и tA - tB = 0, то на ортогональном чертеже длина  l горизонтальной проекции равна длине самого отрезка. Расположение трех проекций этого отрезка представлено на рис.4.2.4.

Если отрезок прямой параллелен трем координатным гиперплоскостям, или, что то же, одной из координатных осей, то на ортогональном чертеже оказываются равными длине этого отрезка три определяющих его проекции. При определении длины отрезка с помощью прямоугольных отрезков можно определить и натуральную величину угла наклона прямой к той или иной координатной гиперплоскости проекций. На рис.4.2.1 угол АВС есть угол между прямой АВ и гиперплоскостью хуz. Его натуральная величина выражена на рис.4.2.2 углом А1Вху А2.

Натуральная величина угла b наклона прямой АВ к гиперплоскости xyt будет найдена, если построить прямоугольный треугольник, у которого первым катетом будет взята натуральная величина отрезка АВ в гиперплоскости xyt, а второй катет равен разности расстояний от концов отрезка проекций гиперплоскости xyt, на которой взят первый катет .

Аналогично могут быть определены углы наклона прямой АВ к координатным гиперплоскостям xzt и yzt.

Для определения длины отрезка прямой общего положения может быть использован прием перемены плоскостей проекций.

Пусть в четырехмерном пространстве рис.4.2.5 задан отрезок АВ прямой общего положения. Требуется определить его длину.

Из геометрии трехмерного пространства известно, что путем изменения двух плоскостей проекций отрезок прямой можно привести в положение, параллельное двум координатным плоскостям.
В этом положении отрезка координаты точек, его определяющих, по двум осям соответственно равны.

Решение задачи выполняется в следующей последовательности. В гиперплоскости xyz выбираем новую координатную гиперплоскость Ox' y' z' так , чтобы плоскость х' у' совпала с ху, а плоскость
х' z' была параллельна проекции Ахуz Вхуz. Из всего этого имеем Axyz Bxyz = Ax' y' z' Bx' y' z' .

Относительно гиперплоскости x' y' z' строим координатную гиперплоскость x' z' t' и в ней проекцию Ax' z' t' Bx' z' t' прямой АВ (значение t снимается из xyt). Таким выбором новой координатной системы x' y' z' t' отрезок АВ в четырехмерном пространстве приведен в положение, параллельное координатной гиперплоскости x' z' t'. Далее в координатной гиперплоскости x' t' z' выбираем еще раз новую координатную систему x" y" z" t" так, чтобы плоскость x" t" совпала с плоскостью x' t', а плоскость х"z" была параллельна прямой Ах' z' t' Вх' z' t' . Строим новую координатную гиперплоскость x" y" z" t" (рис.4.2.5). Отрезок приводится в положение, параллельное координатной плоскости x" z".

Таким образом, заданный отрезок приведен в положение, параллельное двум координатным гиперплоскостям в координатной системе x" y" z" t".

Если при следующем преобразовании гиперплоскости х" у" z" координатную плоскость х''' z''' расположить перпендикулярно к проекции Ах'' y'' z'' Вх'' y'' z'' , то АВ спроецируется на нее в точку
Аx''' z''' є Вх''' z''' .

На рис.4.2.6 приведено решение аналогичной задачи на наглядном и ортогональном чертежах при условии, что замена проводится относительно координатной плоскости хz. Выполнен переход от xyz к x' y' z' и от x' y' z' к х" у" z" таким образом, что отрезок АВ прямой стал параллелен плоскости x" t". Длина проекции Ax'' t''  Bx'' t'' равна длине данного отрезка АВ. Следующим преобразованием отрезок АВ приведен в положение, проецирующее его на новую плоскость в точку Ах''' y''' є Вx''' y''' .

Определить натуральную величину отрезка прямой общего положения в четырехмерном пространстве можно и методом вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций. Так, на рис.4.2.7 последовательным вращением прямая АВ приведена в положение, параллельное плоскости хz, куда она спроецировалась в натуральную величину. Последовательность выбора осей вращения и действий приведена на чертеже (рис.4.2.7).



 

4.3. Определение величины прямолинейной плоской фигуры

Если плоская фигура параллельна двум координатным гиперплоскостям одновременно, или, что то же, общей для них координатной плоскости, то на ортогональном чертеже одна из проекций этой фигуры равна величине самой фигуры, так как длина каждого отрезка, ограничивающего контур фигуры, на этой проекции представлена без искажения.

На рис. 2.3.10, 2.3.11, 2.3.12, 2.3.13 даны треугольники, параллельные соответственно координатным плоскостям ху, xt и yt, на которые эти треугольники спроецировались в натуральную величину. Следовательно, для определения величины плоской фигуры, заданной в общем положении относительно координатных гиперплоскостей, можно привести эту фигуру в положение, параллельное двум координатным гиперплоскостям.

На рис.4.3.1 задан треугольник АВС в общем положении относительно координатной системы Oxyzt. Требуется определить величину этого треугольника.

Из начертательной геометрии трехмерного пространства известно, что путем изменения двух плоскостей проекций плоскую фигуру можно привести в положение, параллельное одной координатной плоскости проекций. В таком положении фигуры координаты всех ее точек по одной из координатных осей равны.

Ортогональные проекции АВС и АВС заданного треугольника АВС в координатной плоскости xyz можно рассматривать как треугольник в трехмерном пространстве. Изменяя в этом пространстве положения плоскостей, мы фактически приводим треугольник АВС четырехмерного пространства в положение, параллельное одной из координатных гиперплоскостей, ибо каждое изменение положения прямоугольной координатной системы в координатной гиперплоскости xyz (t = 0) приводит к изменению положения координатной системы в четырехмерном пространстве.

На первом этапе решения задачи изменяем положение плоскостей проекций в координатной гиперплоскости t = 0. Первую координатную плоскость выбираем так, чтобы она была перпендикулярна к проекции Ахуz Вхуz Схуz , треугольника АВС на координатную гиперплоскость xyz. На ортогональном чертеже такому выбору соответствует выбор новой оси O' х', направленной перпендикулярно к проекции Сху-1 горизонтали плоскости Ахуz Вхуz Схуz , аналогично тому, как это имеет место в начертательной геометрии трехмерного пространства. Находим проекцию
А'хz В'xz С'xz , которая проецировалась на плоскость х' z' в прямую линию. Вторую координатную плоскость выбираем так, чтобы она была параллельна проекции А'хyz В'хуz С'хуz . На ортогональном чертеже такому выбору соответствует выбор новой оси O" х" параллельно проекции А'хz В'хzС'хz .
В координатной системе O" x" y" t" плоскость занимает положение, параллельное координатной гиперплоскости x" y" t, так как координаты всех точек этого треугольника по оси O" z" равны.

На втором этапе решения задачи необходимо привести заданный треугольник АВС в положение, параллельное еще одной координатной гиперплоскости xyt. Решение этого вопроса связано с изменением значений координат точек треугольника по оси Ot, т.е. с необходимостью изменить положение координатных плоскостей проекций уже в координатной гиперплоскости xyt. Первую координатную плоскость x''' t' выбираем так, чтобы она была перпендикулярна к треугольнику АВС в плоскости АВС.

На ортогональном чертеже это соответствует выбору оси O''' х''' перпендикулярно к проекции
А''xy-2 "t - горизонтали" плоскости АВС. В результате получаем проекцию плоскости АВС на плоскости x''' t' в виде прямой линии C'''xyt A'''xyt B'''yt . Вторую координатную плоскость выбираем параллельно A"xt B"xt C"xt , это соответствует на ортогональном чертеже выбору оси х IV параллельно проекции С'''xt A'''xt B'''xt .

В координатной системе О IV x IVy IV z'' t'' заданный треугольник АВС занимает положение, параллельное координатным гиперплоскостям x IV y IV t" и х IV у IV z", а следовательно, проекция
А IVху  В IVху С IVху  равна искомой величине треугольника. Аналогичные построения могут быть выполнены и относительно других координатных плоскостей.

На аксонометрическом чертеже в косоугольной изометрической проекции построения могут быть выполнены относительно координатных плоскостей xz или xt подобно рис.4.2.3.

На рис.4.3.2 приведено решение задачи нахождения натуральной величины плоской фигуры методом вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций.

Задача решается последовательным вращением треугольника АВС вокруг четырех осей, соответственно перпендикулярных к плоскостям проекций ху, хz, ху, xt.

Первым вращением вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости ху и проведенной через точку, лежащую на горизонтали С-1, придаем треугольнику АВС положение A'xy B'xy C'xy, перпендикулярное к плоскости xz. Это выполняется с помощью горизонтали С-1, проведенной в плоскости треугольника, путем поворота этой горизонтали вокруг оси i в положение, перпендикулярное к плоскости xz. Точки А, В, С на плоскостях хz и xt смещаются параллельно
оси Оx.

Вторым вращением вокруг оси i', перпендикулярной к плоскости xz и проведенной через точку A, треугольник АВС приводим в положение А'В"С", параллельное координатной гиперплоскости xyt (координаты z равны).

Третьим вращением вокруг оси i", перпендикулярной к плоскости ху и проведенной через точку
"t - горизонтали" треугольника АВС, придаем треугольнику положение А'''В'''С''', перпендикулярное к плоскости xt. Это выполняется с помощью "t - горизонтали", проведенной в плоскости треугольника, путем поворота этой "t - горизонтали" вокруг оси i" в положение, перпендикулярное к плоскости xt. Четвертым вращением вокруг оси i''', перпендикулярной к плоскости xt и проведенной через точку В''' треугольника АВС, приводим в положение АIV В IV С IV, параллельное координатной гиперплоскости хуz (координаты t равны) и параллельно координатной плоскости ху (равны координаты z). Таким образом, в результате четырех вращении треугольник АВС из общего положения по отношению к координатной системе xyzt приведен в положение, параллельное координатной плоскости, на которую треугольник АВС проецируется в натуральную величину.

Аналогично треугольник АВС можно привести в положение, параллельное другим координатным плоскостям.



 

4.4. Определение расстояния от точки до гиперплоскости

Расстояние от точки до гиперплоскости определяется отрезком перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную гиперплоскость и ограниченного данной точкой пересечения этого перпендикуляра с данной гиперплоскостью.

Известно, что при ортогональном проецировании прямой, перпендикулярной к некоторой гиперплоскости Р, на взаимно-перпендикулярные гиперплоскости, проекции такой прямой перпендикулярны к плоскостным следам этой гиперплоскости на соответствующих гиперплоскостях.

На рис.4.4.1 представлены плоскостные следы Рх Ру Рz и Px Py Pt гиперплоскости Р на координатных гиперплоскостях xyz и xyt соответственно, а также показан отрезок прямой АВ, перпендикулярной к гиперплоскости Р на наглядном аксонометрическом и ортогональном чертежах (на последних двух отрезок прямой задан проекциями).

При ортогональном проецировании проекции Ахуz Вхуz (рис.4.4.1,б), перпендикулярные к плоскостному следу Рх Ру Рz, на координатные плоскости ху и хz и последующем образовании ортогонального чертежа получаем проекции Ахz Вхzи Аху Вху, перпендикулярные соответственно к следам Рх Рz и РхРу гиперплоскости Р на координатных плоскостях xt и ху. Аналогично, при ортогональном проецировании проекции Axyt Bxyt , перпендикулярной к плоскостному следу
Px Py Pt , на координатной плоскости ху, xt и последующем совмещении этих плоскостей для образования ортогонального чертежа получаем проекции Axt Bxt и Аху Вху , перпендикулярные соответственно к следам Px Pt и РхРу гиперплоскости Р на координатных плоскостях xt и ху.

Если изобразить все это на разнесенном ортогональном чертеже, то получим изображение, представленное на рис.4.4.1,б. На этом чертеже горизонтальная проекция Аху Вху (для гиперплоскости xyt эта проекция упущена, т.к. она уже имеется в гиперплоскости xyz) перпендикулярна к следу РхРу , проекция АхzВхz перпендикулярна к следу Рх Рz и проекция Axt Bxt к гиперплоскости xyt на координатной плоскости xt перпендикулярна к следу Px Pt .

Таким образом, при построении прямой, перпендикулярной к заданной гиперплоскости Р и проходящей через заданную точку А, необходимо иметь в виду, что горизонтальная проекция
Аху Вху искомой прямой АВ перпендикулярна к горизонтальному следу гиперплоскости РхРу , фронтальная проекция Ахz Вхz к фронтальному Px Pz следу и проекция Axt Bxt к следу Px Pt .

Для определения расстояния от точки А до гиперплоскости Р (рис.4.4.1) следует найти точку пересечения, перпендикулярную к этой гиперплоскости. На ортогональном чертеже (рис.4.4.1,в) определена искомая точка путем заключения прямой АВ в проецирующую на координатную плоскость гиперплоскости е (ее след еxt на координатной плоскости xt совпадает с проекцией прямой Axt Bxt , на координатных плоскостях следы еxy и еxz расположены параллельно осям у и z, соответственно). Гиперплоскость е пересекает гиперплоскость Р по плоскости 123, которая пересекается с прямой АВ в точке Вхуz (Вхz Вху), которая и является искомой. Более подробное описание заданных построений дано в главе III и иллюстрировано на рис.3.6.1. После того как будет определена точка пересечения перпендикуляра с заданной гиперплоскостью, искомое расстояние может быть найдено путем построения двух прямоугольников, как показано на
рис.4.2.1 и рис.4.2.2.

Если заданной гиперплоскостью является проецирующая гиперплоскость (рис.4.4.2, рис.4.4.3),
то решение задачи по определению расстояния от заданной точки А до этой гиперплоскости значительно упрощается.

Так (рис.4.4.2,б) из расположения проекций перпендикуляра к гиперплоскости Р следует, что этот перпендикуляр параллелен координатной плоскости xt, а значит, любой отрезок его проекции на эту плоскость выражает без искажения длину изображаемого отрезка четырехмерного пространства. Точкой пересечения перпендикуляра с заданной гиперплоскостью является точка пересечения проекции прямой со следом Px Pt на координатной плоскости (см. рис.3.6.2).

Таким образом, длина проекции Axt Cxt отрезка перпендикуляра на рис.4.4.2,б является искомым расстоянием от точки А до гиперплоскости Р.

Если заданной плоскостью является горизонтально-проецирующая гиперплоскость Q (рис.4.4.3), то длина, горизонтальной проекции Аху Сху является искомым расстоянием от точки А до гиперплоскости Q, так как перпендикуляр к такой гиперплоскости параллелен координатной плоскости ху.

Аналогично отмеченным двум случаям может быть найдено расстояние от данной точки до фронтально проецирующей плоскости и других проецирующих плоскостей.

Пользуясь методами изменения положения проекций, приведенными в 4.1 настоящей главы, задачу на определение расстояния от точки до гиперплоскости общего положения можно свести к одному из частных случаев, представленных на рис.4.4.2, рис.4.4.3, и тем самым решить ее. Рассмотрим такое решение.

На рис.4.4.4 заданы гиперплоскость Q общего положения и точка А. Требуется определить расстояние от точки до гиперплоскости Q.Если заданную гиперплоскость преобразовать во фронтально проецирующую, то расстояние от фронтальной проекции точки A до фронтального следа гиперплоскости будет равно искомому расстоянию.Преобразование плоскости общего положения Q во фронтально проецирующую способом перемены плоскостей проекций показано на рис.4.4.4. Ось проекций x41 новой системы плоскости проекции xt - x' y' проведена перпендикулярно к следу qxt плоскости Q. Точка пересечения следа qxt с осью x41 является новой точкой схода следов Q'x плоскости Q. Для нахождения следа q'xy , обладающего собирательным свойством (плоскости x' y' и xt взаимно перпендикулярны) плоскости Qx Kxt Hxt в кооординатно гиперплоскости xyt, на следе qxy взята произвольная точка Нху и спроектирована на плоскость x' y', а затем точки Q'x и Нху соединены прямой. Прямые qxt и q'xy являются следами плоскости QxKH в системе проекций xt - x' y'. Чтобы определить след гиперплоскости Q, нужно построить в x' y' еще одну точку Vxz, принадлежащую следу qxz. Проекция точки в x' y' будет точка V'ху . Таким образом, следом гиперплоскости Q на координатной плоскости x' y' будет треугольник
Q'x (Q'x є K'xy) H'xy V'xy. Последующим преобразованием х' у' ® х" z' приводим этот треугольник в проецирующее положение, т.е. имеем фронтально проецирующую гиперплоскость Q, ее след q'xz собрал все точки данной гиперплоскости. Вместе с изменением положения гиперплоскости Q изменяем и положение проекции точки (см.рис.4.4.4). Расстояние от проекции А'хz до следа
q'xzотрезок A'xz B'xz есть искомое расстояние. Обратным преобразованием определены проекции точки А в координатных плоскостях x' y', xt, xz и ху. При этом проекция А'ху B'xy расположена параллельно оси х"12, а проекция A'xy B'xy оси x"41. Проекция Axt Bxt расположена и перпендикулярно следу qxt . На рис.4.4.4 показано нахождение точки пересечения перпендикуляра Axt Bxt с гиперплоскостью Q на основе заключения ее в проецирующую гиперплоскость еxt . Кроме того, натуральная величина перпендикуляра определена и с помощью прямоугольных треугольников Axy Bxy B'xy и Аху В'ху В"ху АхуВ'ху В"ху, где АхуВху есть натуральная величина перпендикуляра АВ.

Если бы в рассматриваемом построении гиперплоскость общего положения Q была задана не следами, а другим каким-либо способом, например, тремя пересекающимися прямыми Н, f, V, соответственно параллельными координатным плоскостям ху, xz, xt (рис.4.4.5), такое задание соответствует заданию гиперплоскостей следами, у нее три линии, определяющие следы
qxy , qxz , qxt , параллельны (лежат) соответственно координатным плоскостям ху, xz, xt.

На рис.4.4.5 определена натуральная величина перпендикуляра, опущенного из точки D на гиперплоскость тремя вариантами замены плоскостей проекций. Во всех случаях натуральная величина одна и та же. Кроме того, замечаем, что перпендикуляр расположен перпендикулярно линиям уровня f, h, V соответственно на координатных плоскостях хz, ху, xt.

Если гиперплоскость общего положения задана четырехгранником (рис.4.4.6), то для того, чтобы опустить перпендикуляр из точки D на данную гиперплоскость, необходимо ее перезадать линиями уровня f, Н, V. Сначала зададим прямую V параллельно координатной плоскости xt. Прямая параллельна координатной плоскости, если у нее координаты по двум осям равны, т.е. для прямой V должно быть равенство координат по осям у и z. Проводим через точку С проекции прямой
Vxy и Vхz в координатных плоскостях ху и хz. По определению "прямая принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит плоскости, лежащей в этой гиперплоскости" определяем третью проекцию. Для этого проекцию Vху заключаем в проецирующую гиперплоскость, которая пересекает данную гиперплоскость по плоскости 1-2-С. Определяем проекции этой плоскости на координатных плоскостях хz и xt и уже в ней находим прямую, параллельную плоскости xt, подобно начертательной геометрии трехмерного пространства. Аналогично определяем прямые уровня Н и f. На рис.4.4.6 прямые уровня Н, f и V отнесены вправо, где построен перпендикуляр к гиперплоскости и найдена точка пересечения К. Натуральная величина перпендикуляра может быть определена методом прямоугольных треугольников или заменой плоскостей проекций.

На рис.4.4.7 показано преобразование гиперплоскости общего положения, заданного четырехгранником, в проецирующее положение, и определена натуральная величина перпендикуляра, опущенного из точки D на данную гиперплоскость.

Гиперплоскость ABCD перезадаем линиями уровня Н, f и V. Ось новой системы плоскостей проекций проводим перпендикулярно горизонтали h на горизонтальной плоскости ху (аналогично можно делать и по отношению к линиям f и V соответственно на координатных плоскостях хz и xt). Строим новую проекцию гиперплоскости в плоскости х' z' (х' z' ^ ). Следующим преобразованием (ось х"24 проводим перпендикулярно линии V'xz ) приводим гиперплоскость ABCS в проецирующее положение. Из проекции точки D'xt проводим перпендикуляр на прямую A'xt C'xt B'xt S'xt , выражающую проекцию гиперплоскости на плоскости x"t'. Точка пересечения данного перпендикуляра с данной прямой будет точкой пересечения перпендикуляра с данной гиперплоскостью, а длина отрезка D'xt K'xt будет натуральной величиной перпендикуляра.

Гиперплоскость общего положения можно преобразовать в проецирующую гиперплоскость, а следовательно, и определить расстояние от точки до данной гиперплоскости методом вращения вокруг проецирующей оси. На рис.4.4.8 последовательным вращением вокруг горизонтально проецирущей оси i' и "xt - проецирующей" оси i" гиперплоскость ABCS приведена во фронтально проецирующее положение. При этом первое вращение производим так, чтобы линия уровня h была перпендикулярна оси х, а второе так, чтобы линия уровня V была перпендикулярна оси х. Гиперплоскость ABCS при втором вращении спроецировалась на координатную плоскость хz в линию. Перпендикуляр, опущенный из проекции D"xz точки D до пересечения с проекциями гиперплоскости, есть натуральная величина.



 

4.5. Определение угла между двумя гиперплоскостями

За угол между двумя гиперплоскостями принимается линейны угол, образованный перпендикулярами, проведенными к этим гиперплоскостям из любой точки четырехмерного пространства.

На рис.4.5.1 заданы две гиперплоскости Р и Q. Требуется определить угол между ними.

Если бы данные гиперплоскости были фронтально проецируемыми, как показано на рис.4.5.1,б, то угол a, образованный фронтальными следами таких гиперплоскостей, являлся бы искомым углом.

Следовательно, если заданные гиперплоскости Р и Q преобразовать так, чтобы в новой координатной системе они оказались фронтально-проецирующими гиперплоскостями, то искомый угол определялся бы как угол между фронтальными следами этих гиперплоскостей.

Две фронтально проецирующие гиперплоскости пересекаются по плоскости, которая проецируется на фронтальную плоскость в точку.

Таким образом, если плоскость пересечения заданных гиперплоскостей Р и Q преобразовать так, чтобы она оказалась проецирующей в точке, то преобразованные гиперплоскости окажутся фронтально проецирующими.

Следовательно, для решения задачи находим плоскость VHK пересечения заданных гиперплоскостей по трем точкам пересечения их одноименных следов и преобразуем ее, чтобы она стала проецирующей в точку, как показано на рис.4.5.1.

Одновременно с проекциями плоскости HVK преобразуем проекции точек схода следов Qx и Рх. Фронтальные проекции этих точек в координатной системе x42 z" t" вместе с фронтальной проекцией точек плоскости HVK определяют новые фронтальные следы РIVхz qIVхz заданных гиперплоскостей. Угол между этими следами является искомым углом.