3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ  ЛИНЕЙНЫХ ОБРАЗОВ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. РЕШЕНИЕ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Известны следующие случаи взаимного расположения линейных образов в четырехмерном пространстве:

прямая и плоскость в самом общем случае не имеют общих точек. Если же прямая и плоскость имеют только одну общую точку или параллельны,  то они лежат  в одной  гиперплоскости. Прямая может лежать в плоскости;

две плоскости в общем случае имеют единственную общую точку, либо полу параллельны. В остальных случаях они располагаются в одной гиперплоскости;

плоскость и гиперплоскость пересекаются по прямой или параллельны. Плоскость может лежать в гиперплоскости;

прямая и гиперплоскость пересекаются в одной  точке, либо параллельны;

две гиперплоскости пересекаются по плоскости  или параллельны.

Рассмотрим перечисленные случаи.



 

3.1. Плоскость, прямая  и точка в гиперплоскости

Плоскость лежит в гиперплоскости, если три не лежащие на одной прямой точки этой плоскости принадлежат гиперплоскости.

На рис.3.1.1 гиперплоскость общего положения  Р  представлена следами  на координатных плоскостях. Для построения плоскости, лежащей  в заданной гиперплоскости, необходимо выбрать в ней три точки, не лежащие на одной прямой. На чертежах такими точками являются точки Н, V и K, выбранные на следах гиперплоскости Рx Рy Px Рz  и  Рx Pt соответственно. Названные  точки соединены попарно прямыми и определена плоскость  HVK,лежащая в заданной гиперплоскости  Р.

Точки H, V и K  являются горизонтальными, фронтальными и "xt" следами плоскости. Эти следы оказываются лежащими на одноименных следах  гиперплоскости.

Прямая  НV  является следом плоскости  HVK  на координатной плоскости xyz, прямая НK — следом той же плоскости на координатной гиперплоскости xyt и, наконец, прямая VK — следом плоскости на координатной гиперплоскости  xzt.

В плоскости  НVK  выбрана произвольная прямая  АB, а на этой прямой произвольная точка С. Данные прямые и точка принадлежат гиперплоскости Р, причем и прямая АB, и точка С занимают общее положение в E 4.  Точка А является следом прямой на координатной гиперплоскости xzt, точка В следом прямой на координатной гиперплоскости xyz.

Таким образом, если гиперплоскость задана следами, то для построения в ней точки общего положения необходимо сначала по строить в гиперплоскости плоскость так, чтобы ее следы лежали на одноименных  следах гиперплоскости, затем в этой плоскости построить прямую, чтобы ее следы также лежали на соответствующих следах плоскости и, наконец, искомую точку.

Плоскость НVK, выбранная в гиперплоскости  Р, занимает общее положение, относительно координатных гиперплоскостей.

Рассмотрим плоскости, лежащие в гиперплоскости  Р  и занимающие    частное положение относительно координатных гиперплоскостей.

На рис.3.1.2 приведена плоскость  VWN, лежащая в гиперплоскости Р, параллельная координатной гиперплоскости xyt. Эта плоскость определена двумя пересекающимися прямыми  VW  и  VN, координаты на оси  Оz  всех точек которых равны. При этом прямая  VW  параллельна следу  Рx Py, прямая  VN следу Рx Рt . Такую плоскость будем называть   горизонтальной плоскостью гиперплоскости.

На рис.3.1.3 показана плоскость  НWМ, лежащая в гиперплоскости Р, параллельная координатной гиперплоскости xzt. Эта плоскость определена двумя пересекающимися прямыми НW и НМ, параллельными соответственно следам  Рx Рz и Рx Рt  заданной гиперплоскости. Координаты по  Оу  всех точек плоскости HWM равны. Такую плоскость будем  называть  фронтальной плоскостью гиперплоскости.

На рис.3.1.4 представлена плоскость HVK,лежащая в гиперплоскости Р, параллельная координатной гиперплоскости yzt. Плоскость определена двумя пересекающимися прямыми KH и VH, параллельными   соответственно следам гиперплоскости Рy Рt и Рz Рy . Такую плоскость будем называть профильной плоскостью гиперплоскости.

На рис.3.1.5 показана плоскость  КМN, лежащая в гиперплоскости  Р, параллельная координатной гиперплоскости xyz. Плоскость определена двумя пересекающимися прямыми КМ и KN параллельными соответственно следам  Рх Рy  и Рх Рz гиперплоскости Р. Координаты по оси  Оt  всех точек плоскости KMN равны. Такую плоскость будем  называть " t - плоскостью " гиперплоскости.

На рис.3.1.5 показано построение точки С, лежащей в плоскости KMN на аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Если гиперплоскость задана не следами, а четырехгранником, то построение точки общего положения в такой гиперплоскости может быть выполнено на любой прямой заданного четырехгранника. При построении плоскостей частного положения, лежащих в гиперплоскости, заданной указанным образом, необходимо иметь в виду следующее: фронтальная проекция горизонтальной плоскости всегда параллельна оси  Ох. Той же оси всегда параллельна горизонтальная проекция фронтальной плоскости.
Фронтальная проекция профильной плоскости всегда параллельна оси Оz. " t - плоскость " гиперплоскости параллельна координатной гиперплоскости xyz и, следовательно, может быть задана двумя пересекающимися прямыми, параллельными следами  Рx Рy и  Рx Pz (рис.3.1.5).

Рассмотрим решение следующей задачи: заданы гиперплоскость общего положения Р и точка  А (рис.3.1.6). Требуется установить, лежит ли точка А  в гиперплоскости  Р.

На основании изложенных ранее соображений решение задачи выполняется следующими построениями:

1. Проводится  " t - плоскость " уровня, заданной гиперплоскости так, чтобы ее фронтальная проекция проходила через проекцию на  xt  заданной точки.

2. В построенной " t - плоскости " уровня проводим произвольную прямую так, чтобы ее горизонтальная проекция проходила через горизонтальную проекцию точки. Если фронтальная проекция заданной точки окажется на  фронтальной проекции проведенной прямой, то заданная точка лежит в заданной гиперплоскости.

На рис.3.1.6 видно, что точка А не лежит в гиперплоскости Р, так как проекция  Аxy  точки А не лежит на проекции  1xy 2xy  прямой  1-2.

На втором этапе решения задачи прямую " t - плоскость " уровня гиперплоскости можно было бы проводить так, чтобы ее фронтальная проекция проходила через фронтальную проекцию заданной точки. В таком случае принадлежность заданной точки гиперплоскости определялась бы на основании принадлежности горизонтальной проекции точки горизонтальной проекции проведенной прямой. На рис.3.1.6 показано построение также точки С, принадлежащей гиперплоскости Р.



 

3.2. Прямая и плоскость, параллельные гиперплоскости

Прямая параллельна гиперплоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой гиперплоскости. Плоскость параллельна гиперплоскости, если она параллельна плоскости, лежащей в этой гиперплоскости.

Имея в виду эти известные положения, рассмотрим решение задачи.

Задача: Провести через точку D прямую общего положения, параллельную гиперплоскости.

Решение задачи представлено в аксонометрии на рис.3.2.1, где выполнены следующие построения.

В данной гиперплоскости  Р  построена прямая АВ общего положения. Через данную точку  проведена прямая  DE, параллельная прямой с учетом того, что одноименные проекции параллельных прямых  параллельны.

Если через данную точку требуется провести плоскость, параллельную данной гиперплоскости, то искомая плоскость (рис.3.2.2) определяется двумя пересекающимися прямыми, проведенными через данную точку  параллельно двум пересекающимся прямым, лежащим в данной гиперплоскости.



 

3.3. Взаимно параллельные гиперплоскости

Две гиперплоскости параллельны, если две пересекающиеся плоскости, лежащие в одной гиперплоскости, параллельны соответственно двум пересекающимся плоскостям, лежащим в другой гиперплоскости.

Две параллельные гиперплоскости пересекаются третьей гиперплоскостью по параллельным плоскостям. На основании этого можно утверждать, что одноименные следы параллельных гиперплоскостей на координатных гиперплоскостях параллельны. Поскольку названными следами параллельных гиперплоскостей являются параллельные плоскости, которые пересекаются с координатными плоскостями, лежащими в соответствующей координатной гиперплоскости, по параллельным прямым, можно также утверждать, что одноименные следы параллельных гиперплоскостей параллельны и на координатных плоскостях.

Если в одной из двух параллельных гиперплоскостей выбрать произвольную плоскость или прямую, то во второй гиперплоскости всегда можно построить плоскость или прямую, параллельную выбранной в первой гиперплоскости.



 

3.4. Взаимное пересечение гиперплоскостей, заданных следами

Две заданные следами гиперплоскости пересекаются по плоскости, для определения которой в общем случае необходимо найти три не лежащие на одной прямой точки, общие для заданных гиперплоскостей.

Рассмотрим разные случаи построения плоскости пересечения двух гиперплоскостей, заданных следами.

На рис.3.4.1 представлен случай пересечения гиперплоскостей Р и О, одноименные следы которых пересекаются в пределах чертежа. Плоскость HVK пересечения заданных гиперплоскостей определена тремя точками Н, V и К пересечения одноименных следов этих гиперплоскостей
Рху и qху, Рхz и qxz, Pxt и qxt соответственно.

Если следы пересекающихся гиперплоскостей на двух координатных плоскостях соответственно параллельны, то две вершины треугольника HVK являются несобственными. В таком случае собственной оказывается одна из сторон названного треугольника, две же другие соответственно параллельны следам гиперплоскостей.

Если одна из двух пересекающихся гиперплоскостей является гиперплоскостью, параллельной одной из координатных гиперплоскостей, то особенность плоскости пересечения таких гиперплоскостей определяется уже изложенным положением о том, что две параллельные гиперплоскости пересекаются третьей гиперплоскостью по параллельным плоскостям.

Так, на рис.3.4.2 приведен пример пересечения гиперплоскости общего положения Р с гиперплоскостью частного положения Q (гиперплоскость Q параллельна координатной гиперплоскости xyz). Названные гиперплоскости пересекаются по " t - плоскости " уровня KMN,
которая параллельна плоскости Рх Рz Ру пересечения гиперплоскости Р и координатной гиперплоскости xyz.

На рис.3.4.3 дается пересечение горизонтальной проецирующей гиперплоскости Р с фронтальной гиперплоскостью R. Названные гиперплоскости пересекаются по фронтальной плоскости, которая определяется двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку Н, соответственно параллельно следам Рхz и Px Pt гиперплоскости Р.

На рис.3.4.4 представлен случай пересечения гиперплоскости Р параллельной оси Оу, с горизонтальной гиперплоскостью Q. Гиперплоскости пересекаются по горизонтальной плоскости, которая определяется двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку V пересечения фронтальных следов qxz и Px Pt соответственно параллельно следам Рху и Pxt гиперплоскости Р.

На рис.3.4.5 приведено пересечение фронтально-проецирующей гиперплоскости Р с горизонтальной Q. Названные гиперплоскости пересекаются по фронтально-проецирующей плоскости, которая определяется двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку пересечения фронтальных следов qхz и Px Pt , соответственно параллельно следам
Рху и Pxt гиперплоскости Р.



 

3.5. Взаимное пересечение прямой и плоскости, а также двух плоскостей, лежащих в одной гиперплоскости

Рассмотрим решение некоторых позиционных задач на пересечение прямой и плоскости, а также двух плоскостей, лежащих в одной гиперплоскости.

На рис.3.5.1 представлена гиперплоскость Р общего положения, содержащая две плоскости VHK и V'H'K', следы которых лежат на одноименных следах гиперплоскости. Для построения прямой пересечения заданных плоскостей необходимо найти две точки, общие для этих плоскостей.

Прямые VH и V'H лежат в одной плоскости РхРу Рz, и точка их пересечения L является одной из искомых точек. Вторая искомая точка точка М пересечения прямых VK и V'K', лежащих в плоскости Px Pz Pt . Прямая LM является искомой линией пересечения плоскостей VHK и V'H'K'.

Плоскость VHK можно рассматривать как плоскость пересечения гиперплоскости Р с некоторой другой гиперплоскостью, допустим Q, заданной следами , но на чертеже не показанной
(см. рис.3.4.1).

Плоскость V'H'K' также можно рассматривать как плоскость пересечения гиперплоскости Р с некоторой гиперплоскостью, допустим R, также не показанной на чертеже. В этом случае прямую LM можно рассматривать как прямую взаимного пересечения трех гиперплоскостей Р, Q и R.

На рис.3.5.2 представлены фронтально-проецирующая гиперплоскость R, содержащая прямую DE, а также дважды проецирующая плоскость АВС (плоскость, перпендикулярная координатной гиперплоскости), фронтальная и горизонтальная проекция которой на чертеже изображены в виде прямой линии. Здесь же показана точка J пересечения прямой DE с плоскостью АВС, которая в рассматриваемом частном случае определяется на основании тех же соображений, что и при построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью в начертательной геометрии трехмерного пространства. На чертеже сначала найдена горизонтальная проекция Jxy, лежащая на пересечении горизонтальной проекции Dxy Exy, затем остальные проекции Аху Вху Сху
(см. рис.3.5.2), находящиеся на соответствующих проекциях прямой.

На рис.3.5.3 показано построение линии I-II пересечения двух плоскостей АВС и DEF, лежащих также во фронтально-проецирующей гиперплоскости АВС дважды проецирующая, как и в предыдущем примере. Точками I и II искомой линии пересечения являются точки пересечения прямых DE и EF плоскости DEF с плоскостью АВС, найденные, как и точка I, на рис.3.5.2.

На рис.3.5.4 показано построение линии LM пересечения дважды проецирующей плоскости АВС и фронтально-проецирующей плоскости VHK, заданной следами лежащих также в одной фронтально-проецирующей гиперплоскости R. Для точки L на чертеже сначала найдена проекция Lxy, лежащая на пересечении проекций VxHxy и Аху Вху Сху, а затем Lxyz на аксонометрическом чертеже и Lхz на ортогональном чертеже. Для точки М найдена проекция Мхz, лежащая на пересечении проекций Ахуz Вхуz Схуz и Vхz Кх (см. аксонометрический чертеж 3.5.4,а), а затем проекции Mxt и Мх, находящихся на соответствующих проекциях прямой VK. Прямая LM пересекает любую не параллельную ей прямую, лежащую в плоскостях VHK и АВС.

На рис.3.5.4 показано построение точки D пересечения прямой АВ плоскости АВС с прямой LM. Сначала определена проекция Dxyt (Dxt) на пересечении проекции Axyt Bxyt (AxtBxt) и
Lxy Mxt (LxtMxt), а затем и проекции Dхуz и Dxy (Dxz и Dxy) на соответствующих проекциях прямой АС. Точку D можно рассматривать как точку пересечения прямой АВ с плоскостью VHK.



 

3.6. Пересечение прямой с гиперплоскостью

При пересечении прямой с гиперплоскостью наводят одну точку, общую для названных геометрических образов. При определении такой точки для заданных на аксонометрическом и ортогональном чертежах прямой и гиперплоскости в общем случае может быть использован прием, аналогичный применяемому при отыскании точки пересечения прямой с плоскостью в начертаательной геометрии трехмерног пространства. Особенность этого приема в начертательной геометрии трехмерного пространства заключается в том, что путем проведения через заданную прямую вспомогательной плоскости и нахождения линии ее пересечения с заданной плоскостью искомую точку удается определить как точку пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, т.е. пространственную задачу удается свести к задаче плоскостной.

Очевидно, что для сведения задачи на пересечение прямой с гиперплоскостью в четырехмерном пространстве к плоскостной задаче нужно сначала свести эту задачу к задаче определения точки пересечения прямой с плоскостью, расположенной в одном трехмерном подпространстве, т.е. в одной гиперплоскости. Это легко может быть выполнено путем проведения через заданную прямую произвольной вспомогательной гиперплоскости и отыскания плоскости пересечения такой гиперплоскости с заданной гиперплоскостью.

Найденная (заданная) и заданная прямая окажутся, таким образом, лежащими в одной вспомогательной гиперплоскости, и дальнейшее решение задачи будет заключаться в выполнении уже известных построений в трехмерном пространстве. На рис.3.6.1 представлено решение задачи на построение точки пересечения прямой АВ с гиперплоскостью Р общего положения, заданной следами.

На первом этапе решения задачи через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая гиперплоскость R и по точкам V, Н и К пересечения одноименных следов определена плоскость VHK пересечения гиперплоскостей Р и R.

Таким построением четырехмерная задача сведена к задаче трехмерной.

На втором этапе в гиперплоскости R через прямую АВ проведена вспомогательная проецирующая плоскость.

Горизонтальная проекция вспомогательной плоскости проходит через горизонтальную АхуВху проекцию прямой. Далее, как и на рис.3.5.4, построена линия 1-2 (LM) пересечения двух плоскостей, лежащих в одной гиперплоскости R1 VHK и вспомогательной проецирующей на ху.

Выполненное построение позволило свести трехмерную задачу к задаче двумерной. На заключительном, третьем этапе решения задачи искомую точку С находят как точку пересечения двух прямых АВ и 1-2, лежащих в одной вспомогательной плоскости. Построение выполнено, как и на рис.3.5.4, при отыскании точки D.

При решении данной задачи на первом этапе в качестве вспомогательной гиперплоскости можно было бы выбрать и горизонтально-проецирующую и "xt - проецирующую". В первом случае горизонтальный след гиперплоскости проходил бы через горизонтальную Аху Вху проекцию прямой, во втором след "xt - проецирующей" плоскости проходил бы через Axt Bxt проекцию этой прямой.

На рис.3.6.2 представлен случай определения точки пересечения прямой с фронтально- проецирующей гиперплоскостью. Руководствуясь тем, что у всех точек, лежащих в такой гиперплоскости, фронтальные проекции на ортогональном чертеже располагаются на ее фронтальном следе, названную проекцию искомой точки пересечения находят на пересечении соответствующей проекции прямой с фронтальным следом гиперплоскости. Определение же одной проекции точки, лежащей на прямой, является достаточным условием отыскания остальных двух проекций этой точки на соответствующих проекциях прямой. Аналогичными положениями следует руководствоваться и при определении точки пересечения прямой с другими проецирующими гиперплоскостями. На рис.3.6.3 рассмотрено решение задачи на определение точки пересечения прямой KL с гиперплоскостью ABCD, заданной четырехгранником.

Решение выполнено в той же последовательности, что и при решении аналогичной задачи для случая задания гиперплоскости следами (см. рис.3.6.1).

На первом этапе решения задачи через прямую KL проведена вспомогательная фронтально-проецирующая гиперплоскость R и построена плоскостью 123 пересечения заданной и вспомогательной гиперплоскостей.

Точки 1, 2 и 3 при этом определены как точки пересечения прямых DA, DC и DB с вспомогательной гиперплоскостью. Далее в гиперплоскости R через прямую KL проведена вспомогательная проецирующая плоскостью еxt и найдена прямая I-II пересечения этой плоскости с плоскостью 123. Точки I и II при этом определены как точки пересечения вспомогательной плоскости еxt со сторонами 12 и 13 треугольника 123. Искомая точка М определена на пересечении заданной прямой KL с прямой I-II. При этом сначала найдена горизонтальная проекция Мху. При решении задачи в качестве вспомогательной можно было бы выбрать и горизонтально-проецирующую и
"xt - проецирующую" гиперплоскости. В построениях, выполненных на рис.3.6.3, показан лишь фронтальный след вспомогательной гиперплоскости.



 

3.7. Пересечение плоскости и гиперплоскости

Плоскость и гиперплоскость пересекаются но прямой линии. Чтобы построить прямую, необходимо найти две точки, общие для названных геометрических образов.

Рассмотрим некоторые приемы построения прямой пересечения плоскости и гиперплоскости для разных случаев их задания.

На рис.3.7.1 дана гиперплоскость Р общего положения. Плоскость VHK задана следами на координатных плоскостях. Для определения прямой пересечения заданных геометрических образов через плоскость VHK можно провести вспомогательную гиперплоскость и построить плоскость пересечения ее с заданной гиперплоскостью. Построенная и заданная плоскости окажутся лежащими в одной вспомогательной гиперплоскости. Прямая их взаимного пересечения является искомой прямой.

Через плоскость VHK сначала проведена вспомогательная гиперплоскость Q, параллельная оси Ох. Следы гиперплоскости проходят через одноименные следы плоскости. Далее построена плоскость V'H'K' пересечения гиперплоскостей Р и Q. Наконец, построениями, аналогичными выполненным на рис.3.5.1, определена искомая прямая LM.

На чертеже (рис.3.7.2) гиперплоскость Р задана следами, а плоскость АВС двумя пересекающимися прямыми. Искомая прямая взаимного пересечения заданных геометрических образов может быть найдена путем построения точек пересечения прямых АВ и ВС
(с гиперплоскостью Р так, как это было показано на чертеже (рис.3.6.1). Однако при таком приеме решения задачи построения, связанные с получением конечного результата, не всегда могут оказаться удобными. Например, в рассматриваемом случае при проведении через прямую АВ вспомогательной проецирующей гиперплоскости оказывается, что ее следы пересекают следы заданной гиперплоскости в непосредственной близости от точки схода следов на оси Ох, (вследствие чего теряется точность построений, связанных с определением плоскости пересечения заданной и вспомогательной гиперплоскостей.

Рассмотрим иной возможный прием решения поставленной задачи. Этот прием также сводится к двухкратному решению задачи на построение точки пересечения с заданной гиперплоскостью прямой, лежащей в заданной плоскости.

Если заданные геометрические образы пересечь вспомогательной гиперплоскостью, то она пересечет заданную гиперплоскость по плоскости, а заданную плоскость по прямой. Если теперь определить точку пересечения этой прямой с плоскостью, лежащей в той же вспомогательной гиперплоскости , то такая точка является одной из точек, определяющих искомую прямую пересечения заданных образов. Пересекая заданные геометрические образы второй вспомогательной гиперплоскостью, аналогично можно найти вторую точку, определяющую искомую прямую.

На рис.3.7.2 показаны построения, иллюстрирующие изложенный путь решения задачи.

Гиперплоскость Р и плоскость АВС пересечены вспомогательной гиперплоскостью R. При этом гиперплоскость Р пересечена по плоскости S, проходящей через точку К, а плоскость АВС по прямой 1-2. Далее построена точка I пересечения прямой 1-2 с плоскостью S. Точка I является одной из точек, определяющих искомую прямую. Для построения второй точки искомой прямой пересечения проведена вторая вспомогательная гиперплоскость Q, которая пересекает гиперплоскость Р также по плоскости S, но проходящей через точку К', а плоскость АВС по прямой 3-С. Далее, аналогично построению точки I построена точка II, точка пересечения прямой 3-С с плоскостью S'. Прямая I-II является искомой линией пересечения гиперплоскости Р и плоскости АВС. Решение подобной задачи на ортогональном чертеже может быть выполнено так же, но с учетом особенностей этого чертежа.

На ортогональном чертеже (рис.3.7.3) заданы гиперплоскости ABCD и плоскость EFG. Для построения прямой пересечения заданных образов точки пересечения прямых EF и FG
с гиперплоскостью ABCD можно было бы построить так, как показано на рис.3.6.3. Воспользуемся для решения задачи тем же приемом, что и на рис.3.7.2.

На рассматриваемом рис.3.7.3 проведена вспомогательная "xt - проецирующая" гиперплоскость ABCD по плоскости 123, а плоскость EFG по прямой KL. Так же, как показано на рис.3.6.3, построена точка T пересечения прямой KL и плоскости 123. Эта точка является одной из точек, определяющих искомую прямую. Для построения, второй точки S, характеризующей искомую прямую, проведена вспомогательная "xt - проецирующая" гиперплоскость Q и выполнены те же построения, посредством которых была найдена точка T. Прямая TS является искомой линией пересечения гиперплоскости ABCD и плоскости EFG.

На рис.3.7.2 и 3.7.3 для облегчения чтения чертежей некоторые проекции точек не показаны.



 

3.8. Взаимное пересечение гиперплоскостей, заданных различными способами

На ортогональном чертеже (рис.3.8.1) две гиперплоскости заданы четырехгранником ABCD и EFGH. Чтобы построить плоскость пересечения заданных гиперплоскостей, необходимо найти три, не лежащие на одной прямой точки, общие для этих гиперплоскостей. Такие три точки могут являться точками пересечения любых трех, не лежащих в одной плоскости, прямых первой гиперплоскости со второй гиперплоскостью или, наоборот, точками пересечения трех аналогичных прямых второй гиперплоскости с первой. Одна из точек может быть также точкой пересечения прямой, лежащей в первой гиперплоскости, со второй гиперплоскостью, а две другие точками пересечения двух прямых второй гиперплоскости с первой. Возможен и обратный вариант решения.

Таким образом, в любом случае, решение поставленной задачи сводится к троекратному решению на построение точки пересечения прямой с гиперплоскостью. При этом можно использовать приемы построения, рассмотренные на рис.3.6.3, 3.7.2, 3.7.3.

На рис.3.8.1 искомой плоскостью пересечения заданных гиперплоскостей является плоскость KLM. Точка К этой плоскости определена как точка пересечения прямой EF гиперплоскости EFGH с гиперплоскостью ABCD; при этом выполнены те же построения, что и на рис.3.6.3. Точки L и М найдены следующим образом. Проведена вспомогательная "xt - проецирующая" гиперплоскость Q. С целью получения на чертеже меньшего числа дополнительных точек эта гиперплоскость проведена через точку G гиперплоскости EFGH и точку В гиперплоскости ABCD. Далее построены плоскости 45B и 67G пересечения гиперплоскостей ABCD и EFGH соответственно вспомогательной гиперплоскостью Q. Точки L и М определены как точки пересечения плоскостей 45B и 67G в координатной гиперплоскости хуz.

При оформлении решения рассматриваемой задачи на аксонометрическом чертеже может быть использован аналогичный прием. Если одна из пересекающихся гиперплоскостей задана следами, а вторая четырехгранником, то для построения плоскости их взаимного пересечения можно использовать прием, рассмотренный на рис.3.7.2.



 

3.9. Взаимное пересечение четырех гиперплоскостей

При взаимном пересечении четырех гиперплоскостей определяют одну точку, общую для этих гиперплоскостей, причем такая точка может быть и не собственной.

Так, на рис.3.9.1 заданы четыре гиперплоскости P, Q, R и S. В результате взаимного пересечения трех гиперплоскостей P, Q и R определена прямая LM, полученная построениями, приведенными на рис.3.5.1. При пересечении прямой LM с горизонтальной гиперплоскостью S найдена точка N, которая и является общей для всех четырех гиперплоскостей. Аналитически процесс отыскания точки, общей для четырех гиперплоскостей, представляет собой процесс решения системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Следовательно, значения xN, yN, zN и tN— четырех координат точки N на рис.3.9.1 можно рассматривать как корни следующей системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:
 

                                       (3.9.1)
 
 В этой системе первое уравнение графически выражает гиперплоскость P, второе гиперплоскость Q, третье гиперплоскость R, четвертое гиперплоскость S.

Таким образом, решение системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными может быть выполнено графически.

На аксонометрическом чертеже (рис.3.9.2) представлено графическое решение следующей системы уравнений:
 

                                  (3.9.2)
 
 Система (3.9.2) известным образом приведены к виду:
 
                                                            (3.9.3)
 
 Каждое уравнение системы (3.9.3) представляет собой уравнение гиперплоскости общего положения относительно отрезков , отсекаемых ею на координатных осях.

Графическое решение системы (3.9.3) на рис.3.9.2 выполнено в такой последовательности:

1. По известным параметрам построены следы гиперплоскостей P, Q, R и S, которые графически выражают соответственно первое, второе, третье и четвертое уравнения системы.

2. Определены плоскости VHK, V'H'K' и V''H''K'' пересечения гиперплоскости P с гиперплоскостями соответственно Q, R и S.

3. Найдены прямые LM и L'M' пересечения плоскостей соответственно VHK и V'H'K', а также V'H'K' и V''H''K'', лежащих в одной гиперплоскости P.

4. На пересечении прямых LM и L'M', лежащих в одной плоскости V'H'K', построена точка N.

5. По чертежу определены четыре координаты точки N, которые в выбранном масштабе имеют следующие значения:

xN = -4,6 (отрезок ONx);      yN = 9,4  (отрезок Nx Nxy),
zN = -3,6 (отрезок Nxy Nxyz); tN = -4,8 (отрезок Nxy Nxyt).

В результате подстановки найденных значений неизвестных в уравнения системы (3.9.2) можно убедиться в правильности решения.



 

3.10. Две плоскости, не лежащие в одной гиперплоскости

Две плоскости, не лежащие в одной гиперплоскости, могут быть полупараллельными, либо могут пересекаться в одной точке.

Если две плоскости полупараллельны, то через каждую точку одной из этих плоскостей может быть проведена единственная прямая, параллельная другой плоскости.

Если через данную точку требуется провести плоскость, полупараллельную данной плоскости, то искомая плоскость может быть выражена двумя пересекающимися в заданной точке прямыми, одна из которых параллельна данной плоскости.

На ортогональном чертеже (рис.3.10.1) представлено решение задачи на построение точки J пересечения двух данных плоскостей АВС и KLM, не лежащих в одной гиперплоскости.

Решение выполнено в такой последовательности:

1. Путем выбора произвольной точки S, не лежащей в плоскости АВС, названная плоскость включена в гиперплоскость ABCS, которая выражена четырехгранником.

2. Построена прямая Т Т ' пересечения плоскости KLN и гиперплоскости ABCS. При этом выполнены те же построения, что и на рис.3.7.3.

3. Искомая точка J построена как точка пересечения прямой T T ' и плоскости АВС, лежащих в одной гиперплоскости ABCS. Для этого через прямую T T ' проведена вспомогательная
"xt - проецирующая плоскость" еxt и "xt - проекция", которая совпадает с проекцией TхtTхt' названной прямой, построена прямая 89 пересечения данной АВС и вспомогательной плоскости е и, наконец, определена искомая точка, лежащая на пересечении прямых T T ' и 89; при этом сначала найдены проекции J, Jxz, а затем Jxt.

Таким образом, найдена точка пересечения двух плоскостей в четырехмерном пространстве. Правильность построения можно проверить следующим образом (рис.3.10.2).

По определению эта точка пересечения является общей для той и другой плоскости. Определяем принадлежность точки той и другой плоскости прямыми: для АВС прямой A-1, для KLN прямой К-2.

Проекции точек совпадают, т.е. общая точка лежит на одной линии связи и принадлежит той и другой плоскости.

На рис.3.10.3 решение данной задачи дано в следующей последовательности:

1. Определена линия пересечения II-III двух плоскостей AВС и KLN гиперплоскости xyt, т.е. рассмотрена трехмерная задача.

2. Определена линия пересечения IV-V двух плоскостей АВС и KLN в гиперплоскости xyz.

3. Проекции линии пересечения II-III, IV-V на общую координатную плоскость ху определяют искомую точку J пересечения плоскостей АВС и KLN.

Результат решения совпадает с задачей на рис.3.10.1, построения же основаны только на начертательной геометрии трехмерного пространства.

При решении данной задачи возникает вопрос видимости. Если рассматривать эти плоскости отдельно в каждом трехмерном пространстве (где они пересекаются по линии) (рис.3.10.4), было бы понятно. Но так как плоскости пересекаются все же в точке, то вопрос видимости требует дополнительных исследований. Мы же в дальнейшем будем (если это возможно) определять на координатные плоскости xt и хz по расположению точки на ху, т.е. на xt и ху будет видна та точка, которая ближе к нам. Па плоскости ху (в гиперплоскости хуz) будет видна та точка, которая выше на координатной плоскости xz. Ha плоскости ху в том случае, когда ее изображаем в гиперплоскости xyt, будет видна та точка, у которой координата по оси t больше. Учитывая приведенные соображения и перезадавая плоскость АВС пересекающимися прямыми, на рис.3.10.5 покажем изображение двух плоскостей с соблюдением видимости.