2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОБРАЗОВ

2.1. Точка

Для изображения точек четырехмерного пространства нами выбран разнесенный аксонометрический чертеж (гиперэпюр) и разнесенный ортогональный чертеж (гиперэпюр) четырехмерного пространства. В этом случае каждая точка пространства  Е 4  на разнесенном аксонометрическом чертеже изображается тремя ее проекциями, лежащими на прямой, перпендикулярной общей плоскости xy (рис.2.1.1,а). Таким образом, на разнесенном аксонометрическом чертеже любая точка может быть задана тремя ее проекциями (одна точка лежит на общей плоскости), лежащими на общей прямой, перпендикулярной общей плоскости, что записывается в следующей форме:

На ортогональном разнесенном чертеже (рис.2.1.1,6) каждая точка пространства Е 4  также изображается тремя проекциями (одна точка повторяется дважды), лежащими на одной прямой, перпендикулярной к оси Ox. Такое задание  будем записывать в следующей форме: для точки А, например,

Кроме того, каждая точка пространства  Е 4 на разнесенном аксонометрическом чертеже может изображаться тремя ее проекциями, лежащими на прямой, перпендикулярной общей плоскости yt (рис.2.1.2,а). Это записывается в виде:

На ортогональном чертеже (рис.2.1.2,6) каждая точка пространства  Е 4  изображается тремя проекциями (точка Аyt повторяется дважды), лежащими на одной прямой, перпендикулярной к оси Оt. Такое задание будем записывать в следующем виде: для точки  А, например:

При необходимости изображения точек пространства  Е 4  можно использовать все координатные гиперплоскости четырехмерного пространства. На рис.2.1.3 изображена точка ее проекциями на всех координатных гиперплоскостях, это записывается в виде:

Проекция  Аxy  (называемая вторичной аксонометрической проекцией) необходима для определения аксонометрических проекций точек:

Анализируя изображения точки на рис.2.1.3, можно заметить следующую закономерность, что по двум заданным проекциям можно определить третью или четвертую проекцию точки. Например, имеем проекции точки  А ( Аxyz , Аxyt )  в координатных гиперплоскостях  xyz  и xyt. Исключая координату  x, будем иметь точку Аyzt в гиперплоскости yzt, исключая координату y, будем иметь точку  Аxzt  в координатной гиперплоскости  xzt. Здесь имеем две точки (проекции) на координатных гиперплоскостях, которые конкурируют на общую плоскость (общая проекция). Производной от этих конкурирующих точек получается точка, лежащая в 3-ем или четвертом координатном пространстве. Данное положение имеет важное значение для конструирования поверхностей: построение производной поверхности по двум заданным.

Графическое построение третьей и четвертой проекции точки на аксонометрическом чертеже можно осуществить не пользуясь значениями их ординат при помощи постоянной плоскости комплексного гиперэпюра Аxz, являющейся биссекторной плоскостью двугранного угла zxz или Аyz . Точку четырехмерного пространства можно изображать и на всех координатных плоскостях ортогонального чертежа. На рис.2.1.4 изображена точка на трех ортогональных трехмерных пространствах (гиперплоскостях), которые охватывают все координатные плоскости пространства Е 4Здесь также построение новых проекций точки можно осуществить не пользуясь значениями их ординат при помощи постоянной прямой  Кyy.

В дальнейшем изложении точки пространства  Е 4  на аксонометрическом и ортогональном чертежах будем задавать главным образом проекциями в координатных гиперплоскостях xyz  и  xyt.

Четыре взаимно-перпендикулярные координатные гиперплоскости  xyz, xyt, xzt и yzt  при взаимном пересечении образуют в точке  О  шестнадцать четырехгранных углов:

которые будем называть ортантами (рис.2.1.5).

Положение точки четырехмерного пространства в каждом ортанте определяется величинами и знаками четырех ее координат.

На рис.2.1.6 ортанты изображены на совмещенном чертеже. Точка, принадлежащая тому или иному ортанту, вполне определяется на разнесенном аксонометрическом и на разнесенном ортогональном чертежах (рис.2.1.7, а,б).

Изобразим на аксонометрическом и ортогональном чертежах ряд точек, занимающих общее положение в  Е 4. Каждая из названных точек характеризуется тем что ни одна из четырех ее координат не имеет значения, равного нулю.

Точка  А (Аxyz , Аxyt , Аxy ) на аксонометрическом чертеже  А (Аxy , Аyz , Аyt ) на ортогональном чертеже расположена в ортанте IX, так как ее координаты по осям Ox , Oy , Oz имеют положительные значения, координаты же по оси Ot отрицательные. Точка С лежит в ортанте ХII, точка D — в ортанте VI и точка Е — в ортанте ХVI. На рис.2.1.7,а отмечены отрезки, выражающие четыре координаты точки Е. При этом только координата у имеет положительное значение, остальные отрицательные. Рис.2.1.7,6 дает представление об изображении точек на ортогональном чертеже.

В дальнейшем изложении все изображения будем выполнять на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Аксонометрические чертежи будем выполнять в косоугольной изометрической проекции с углом между осями Оz (Оt) и Оy равным 135o при показателях искажения по осям, равных единице.

Точки, расположенные в четырехмерном пространстве, могут занимать  и  частные  положения  относительно  координатной  системы. А именно: точки могут лежать в одной из координатных гиперплоскостей или плоскостей или осей.  В первом случае одна из четырех координат точки имеет значение, равное нулю; во втором две координаты ее равны нулю, в третьем случае нулю равны три координаты точки.



 

2.2. Прямая

Прямая четырехмерного пространства однозначно определяется двумя его точками. Для того чтобы получить ортогональную проекцию прямой линии на какую-либо гиперплоскость, надо провести через эту прямую плоскость,  перпендикулярную к гиперплоскости проекций; тогда прямая пересечения проведенной плоскости с гиперплоскостью проекций будет являться ортогональной проекцией прямой на ортогональной гиперплоскости четырехмерного пространства. На рис.2.2.1,а изображена прямая АВ. Через АВ проведена плоскость A, перпендикулярная к гиперплоскости  xyz. Пересечение плоскости  с гиперплоскостью  xyz  определит единственную прямую Аxyz Вxyz , в которую прямая АВ ортогонально спроецируется на гиперплоскость xyz; так как положение прямой линии вполне определяется двумя ее точками, то вместо проведения плоскости, достаточно найти ортогональные проекции  Аxyz и Вxyz  точек А и В прямой на гиперплоскость xyz, после чего через эти точки  Аxyz и Bxyz  провести прямую, являющуюся ортогональной проекцией АВ на гиперплоскость xyz. Построение же проекций Аxz Вxz и Аxy Вxy  на координатных плоскостях xz и xy  аналогично как в трехмерном пространстве.

На рис.2.2.1,6 показана прямая АВ, перпендикулярная к гиперплоскости  xyz. Перпендикуляры к гиперплоскости xyz,проведенные через точки А и В этой прямой, сольются с прямой и дадут в пересечении с плоскостью  xyz  точку Аxyz є Bxyz . Таким образом, ортогональной проекцией прямой линии на гиперплоскость является прямая линия, за исключением случая, когда прямая перпендикулярна к гиперплоскости проекций.

Одна проекция прямой на координатной гиперплоскости не определяет положения прямой  в четырехмерном пространстве, так как в плоскости A (рис.2.2.1,а) можно провести любое количество прямых, параллельных и наклонных к  xyz  и все они будут иметь на плоскости  xyz  своей проекцией одну и ту же прямую Аxyz Вxyz .

Две проекции прямой на двух координатных гиперплоскостях и одна проекция на общей координатной плоскости вполне определяет ее положение в четырехмерном пространстве. Так, на чертеже 2.2.1 прямая АВ может определяться проекциями Axyz Bxyz ,  Axyt Bxytи вторичной проекцией Аxy Bxy (рис.2.2.1,а).

Построение комплексного разнесенного аксонометрического чертежа прямой сводится к построению проекций двух ее точек в координатных гиперплоскостях и построению вторичных проекций в координатных плоскостях.

Для построения комплексного аксонометрического чертежа прямой АВ  определяем координаты
x, y, z, точек А и В (рис.2.2.1,а) и переносим эти величины на рис.2.2.2,а. Полученные одноименные проекции  Аxyz и Вxyz , Axyt и Вxyt , а также  Axy и Вxy  соединяем прямыми. Прямые Axyz Вxyz , Аxyе Вxyе ,  Axy Bxy являются соответственно проекциями прямой на координатные гиперплоскости xyz  и xyt  и на координатную плоскость  xy  (вторичная аксонометрическая проекция, общая для гиперплоскостей xyz, xyt).

На рис.2.2.2,б показано построение прямой АВ на комплексном разнесенном ортогональном чертеже. Здесь прямые Аxy Вxy , Axz Bxz , AB являются соответственно проекциями прямой АВ на координатные плоскости xy, xz, xt.

В четырехмерном пространстве прямая может пересекать гиперплоскость в одной точке, может быть параллельна гиперплости и, наконец, может лежать в гиперплоскости. На этом основании могут быть отмечены следующие положения прямой относительно координатных гиперплоскостей:
1. Прямая пересекает все четыре координатные гиперплоскости.
2. Прямая параллельна одной из координатных гиперплоскостей.
3. Прямая параллельна двум координатным гиперплоскостям, а, следовательно, и координатной плоскости их пересечения.
4. Прямая параллельна трем координатным гиперплоскостям, а, следовательно, и координатной оси которая определяется в результате пересечения этих гиперплоскостей.
5. Прямая лежит в одной из координатных гиперплоскостей .

В первом случае прямая называется прямой общего положения, в остальных четырех каждая прямая называется прямой частного положения .

Отмеченные положения прямой относительно координатных гиперплоскостей могут быть охарактеризованы и с точки зрения значений четырех координат двух точек, определяющих каждую прямую, аналогично тому, как это делается  в начертательной  геометрии трехмерного пространства. А именно: если значения всех четырех координат двух точек соответственно различны, то также две точки определяют прямую общего положения. Если значения координат двух точек прямой по одной из координатных осей равны, то эти две точки определяют прямую, параллельную координатной гиперплоскости, к которой перпендикулярна указанная координатная ось. Аналогичным образом могут быть охарактеризованы и другие прямые частного положения.

На основании изложенного можно отметить, что на рис.2.2.3 представлена прямая АВ общего положения. Для такой прямой характерны следующие особенности расположения ее проекций. На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.3,а) проекция Аxyz  Bxyz в гиперплоскости  xyz  не параллельна ни оси Ox, ни оси Oz, ни оси Oy, проекция Аxyе Вxyе  в xyt  также не параллельна осям  Ox, Oy, Ot, проекция  Аxy Bxy  в координатной плоскости xy  не параллельна  Ox и Oy. На ортогональном чертеже (рис.2.2.3,б) проекция  Аxz Bxz  не параллельна ни оси Оx, ни оси Оz, проекция  Аxt Bxt  в координатной плоскости xt  также не параллельна осям Оx, Ot, аналогично и с проекциями  Аxy Bxy  в координатной плоскости xy. Точка пересечения прямой с координатными гиперплоскостями называются следами прямой на этих гиперплоскостях. Прямая общего положения имеет четыре следа.

Следом прямой  АВ  на гиперплоскости  xyz  является точка прямой, координата которой по оси  Ot  равна нулю. На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.3,а) в результате пересечения проекций
Аxyt Bxyt и Аxy Вxy определена точка L (Lxyz , Lxytє Lxy ) аксонометрическая точечная проекция искомого следа.

Следом прямой на гиперплоскости xyt является точка прямой, координата которой по оси oz равна нулю. На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.3,а) сначала определена проекция  Kxy , как точка пересечения прямой  Axyz  Bxyz  с прямой Axy Bxy , а затем аксонометрическая проекция Kxyt в гиперплоскости xyt.

След прямой на гиперплоскости  yzt  представляет собой точку этой прямой, координата которой по оси Ox равна нулю. На аксонометрическом чертеже определена точка следа  M проекциями
Myz , Myt , My  на координатных плоскостях yz, yt и оси Oy (след прямой AB на гиперплоскости yzt не определен, так как гиперплоскость  yzt  на рис.2.2.3,а  не задана) в результате пересечения проекции  Axy Bxy  с осью Oy. След прямой  на гиперплоскость xzt представляет собой точку этой прямой, координата которой по оси  Oy  равна нулю. На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.3,а) определен след N проекциями Nxz , Nxt , Nx на координатных плоскостях xz, xt   и оси Ox  (след Nxyt  на гиперплоскости xyt также не определен из-за отсутствия этой гиперплоскости на данном рисунке) в результате пересечения проекции  Axy Bxyс осью  Ox . На рис.2.2.3,б определены следы прямой на ортогональном чертеже .

Рассмотрим теперь прямые частного положения, каждая из которых параллельна какой-нибудь одной координатной гиперплоскости. Если прямая параллельна координатной гиперплоскости xyz, то, следовательно, все точки такой прямой равноудалены от названной  гиперплоскости, а это означает, что координаты всех точек прямой AB по оси Ot равны (рис.2.2.4). Особенностью рассматриваемой прямой является ее параллельность трехмерному пространству .

Однако при изображении ее на аксонометрическом чертеже (рис.2.2.4,а) имеем привычное изображение, а именно, в гиперплоскости xyt проекция Axyt Вxyt  должна располагаться параллельно плоскости  xy  или на ортогональном чертеже (рис.2.2.4,б) проекция Аxt Bxtпараллельна оcи  Ox. В остальном характер расположения проекций сохраняется таким же, как  и у прямой общего положения. Прямая, параллельная координатной гиперплоскости xyt, характеризуется тем, что все ее точки равноудалены от указанной гиперплоскости и, следовательно, координаты по оси  Оz  всех точек прямой равны. Характерным для изображения прямой является параллельность ее проекции Аxyz Bxyz  координатной  плоскости  xy  на аксонометрическом чертеже (рис.2.2.5,а) и параллельность проекции Аxz Bxz оси Ox  на ортогональном чертеже (рис.2.2.5,б).

Для прямой, параллельной координатной гиперплоскости xzt, характерным является равенство координат всех точек такой прямой по оси  Oy. Эта особенность выражается взаимной параллельностью проекций этой прямой Аxyz Вxyz  координатной плоскости  xz  и Axyt Bxyt  координатной плоскости xt на аксонометрическом чертеже (рис.2.2.6,а) и параллельностью проекции  Axy Bxy оси Ox на ортогональном чертеже (рис.2.2.6,б). Особенность прямой, параллельной координатной  гиперплоскости yzt, заключается в том, что координаты всех точек этой прямой по оси Ox  равны. Отмеченная особенность на аксонометрическом чертеже (рис.2.2.7,a) выражается параллельностью проекции  Аxyz Bxyz координатной плоскости  yz  в координатной гиперплоскости xyz  и параллельностью проекции  Аxyt Bxyt  координатной плоскости уt в координатной гиперплоскости  xyt. На ортогональном чертеже (рис.2.2.7,б) она выражается в том, что проекция Аxy Bxy  параллельна оси Оy, проекция Аxz Bxz  параллельна оси  Oz  и проекция  Аxt Вxt  параллельна оси Оt. Если  прямая  параллельна двум координатным гиперплоскостям, то координаты двух точек, определяющих такую прямую, по двум координатным осям должны быть соответственно равны. Так, например, если прямая параллельна координатным гиперплоскостям  xyz  и  xyt, то координаты точек А и В, определяющих прямую АВ, по оси Ot, а также координаты по оси  Оz  должны быть равны (рис.2.2.8). Отмеченные особенности значений координатных точек А и В определяют особенности расположения проекций прямой. На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.8,а) проекции  Аxyz Bxyz  в координатной гиперплоскости  xyz  и проекции  Аxyt Bxyt  в координатной гиперплоскости  xyt  расположены параллельно координатной плоскости  xy. На ортогональном чертеже (рис.2.2.8,б) проекции  Axz Bxz  и  Аxt Bxt  расположены параллельно оси Ox. Рассматриваемая прямая параллельна координатной плоскости xy. Если прямая параллельна координатным гиперплоскостям  xyz и xzt, то она параллельна координатной плоскости  xz. Координаты всех точек такой прямой по оси Ot  равны, а также равны координаты всех точек прямой по оси Oy. Такая прямая АВ представлена на рис.2.2.9. На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.9,а) проекция Аxyz Вxyz  расположена параллельно плоскости xz, а проекция  Аxyt Bxyt  параллельно плоскостям  xt  и xy. На ортогональном чертеже (рис.2.2.9,б) проекция  Аxz Bxz  не параллельна ни оси  Оx, ни оси  Oz, проекция Аxy Вxy  параллельна оси  Оx, проекция  Аxt Bxt  также параллельна оси  Ох.

Прямая, параллельная координатным гиперплоскостям xyt и yzt, а, следовательно, и координатной плоскости  yt, представлена на рис.2.2.10. Координаты всех точек такой  прямой по оси  Ох  равны, а также равны и координаты всех точек прямой по оси  Оz.

На аксонометрическом чертеже (рис.2.2.10,а) проекция Аxyz Bxyz расположена параллельно плоскостям xy и yz, проекция Аxyt Вxyt      расположена параллельно плоскости yt. На ортогональном чертеже (рис.2.2.10,б) проекция  Аxy Bxy  расположена параллельно оси  Оy, проекция  Аxt Bxt  параллельно  Оt, а проекция  Аxz Bxz  выражается в точку на  xz.

Для решения задач по построению следов прямых частного положения с координатными гиперплоскостями  можно поступать аналогично прямым общего положения. Определим следы прямой частного положения, параллельной гиперплоскостям xyt  и  yzt, с гиперплоскостями  xyz  и  xzt. След прямой  на гиперплоскости  xyz  представляет собой точку этой прямой, координата которой по оси  Оt  равна нулю (рис.2.2.10,а).

Эта точка  L (Lxyz , Lxy)  определяется как точка пересечения проекции   Аxyt Bxyt  с координатной  плоскостью  xy. След прямой на гиперплоскости xzt  представляет собой точку этой прямой, координата которой по оси Оy равна нулю. Эта точка  N (Nxt , Nxz , Nx) определяется как точка пересечения  проекции  Аxyt Bxyt  с координатной плоскостью  xt.

Перейдем теперь к рассмотрению прямых, каждая из которых параллельна одновременно трем координатным гиперплоскостям.

На рис.2.2.11 представлена прямая, параллельная координатным гиперплоскостям xyz, xyt, xzt. Особенности расположения проекций прямой на аксонометрическом и ортогональном чертежах легко видеть непосредственно на самих чертежах. Эти особенности обусловлены тем, что все точки рассматриваемой прямой имеют равные координаты по осям Оt, Оz и Оy  соответственно.

На рис.2.2.12 представлена прямая, параллельная координатным гиперплоскостям xyz, xyt, yzt, а следовательно, и оси Оy. Все точки названной прямой имеют равные координаты по осям Оt, Оz  и, наконец, по оси  Ох, соответственно. Рассматриваемая прямая имеет только один след на гиперплоскости xzt. Эта точка N (Nxt , Nxz , Nx)определяется  как  точка пересечения проекции
Аxyt Bxyt  с координатной плоскостью  xt на аксонометрическом чертеже и как точка пересечения проекции  Аxy Bxy  c осью Ох  на ортогональном чертеже.

Прямая, параллельная координатным гиперплоскостям  xyz, xyt и yzt, представлена на рис.2.2.13. Все точки данной прямой имеют равные координаты по осям  Оt, Оy и Ох.

На рис.2.2.14 приведена прямая, параллельная координатным гиперплоскостям xyt, xzt, и yzt, а, следовательно, и оси  Оt. Прямая  имеет след только на гиперплоскости xyz. Эта точка следа
L (Lxy , Lxyz ) определяется, как точка пересечения проекции с координатной плоскостью.

Помимо рассмотренных частных случаев положения прямой возможна принадлежность прямой как координатным  гиперплоскостям так и координатным плоскостям. Если прямая лежит в координатной  гиперплоскости, то это означает, что она лежит в трехмерном пространстве, где возможные ее положения относительно координатных плоскостей и координатных осей известны из начертательной геометрии трехмерного пространства.



 

2.3. Плоскость

Плоскость в четырехмерном пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, лежащей вне этой прямой; двумя пересекающими прямыми и двумя параллельными прямыми.

Если две прямые пересекаются, то они имеют одну общую точку, и, следовательно, их одноименные проекции также пересекаются, а точки пересечения проекций связаны проекционно (рис.2.3.1).

Если точка пересечения прямых несобственная, то рассматриваемые прямые параллельны и их одноименные проекции соответственно параллельны (рис.2.3.2).

Плоскость ABC пересекается с координатными гиперплоскостями по прямым, которые будем называть следами плоскости на координатных гиперплоскостях.

Пусть плоскость задана тремя не лежащими на одной прямой точками A, B, и C, причем координаты этих точек по каждой из четырех осей соответственно разные. Такая плоскость представлена на  аксонометрическом разнесенном чертеже (рис.2.2.3).

С координатными плоскостями плоскость ABC пересекается в точках, которые будем называть следами плоскости на координатных плоскостях.

Для построения следа плоскости ABC на любой координатной гиперплоскости достаточно определить на этой гиперплоскости следы двух любых прямых данной плоскости.

На рис.2.3.3 точки A и B, а также B и C соединены прямыми.  Следом прямой  AB  на гиперплоскости xyz  является точка прямой, координата которой по оси Ot  равна нулю. На аксонометрическом чертеже (рис.2.3.3) в результате пересечения проекции  Axyt Bxyt  и  Axy Bxy  определена точка L (Lxyz , Lxyt є Lxy)  аксонометрическая проекция искомого следа.

Следом прямой BC на гиперплоскости  xyz  также является точка прямой, координата которой по оси  Ot  равна нулю. Это точка L1, заданная проекциями Lxyz , Lxyt = Lxy. Точки L и L1 соединены прямой, которая и является следом плоскости  ABC на координатной гиперплоскости  xyz. Следом той же плоскости на координатной гиперплоскости xyt является прямая  K1 K2 ,  которая соединяет найденные точки K1 и K2.

Для построения следов плоскости  ABC на координатных гиперплоскостях xzt  и  yzt  можно было бы также найти следы прямых  AB и BC  и на названных гиперплоскостях соединить их прямыми. 0днако воспользуемся иными построениями. 0пределим следы плоскости ABC на координатных плоскостях.

Прямая  LL1  принадлежит гиперплоскости  xyz  и пересекает координатные плоскости  xy, xz  и  yz,  ибо, как видно из чертежей, она не параллельна ни одной из этих плоскостей.  Построение точек  Hxy , Hxz , Hyz  пересечения прямой LL1 с названными координатными плоскостями выполнено на рис.2.3.3 так же, как и построение следов прямой в начертательной геометрии трехмерного пространства. Поскольку прямая LL1 принадлежит плоскости ABC, то найденные точки Hxy , Hxz и Hyz являются следами данной плоскости на соответствующих координатных плоскостях.

Прямая K1К2 принадлежит гиперплоскости xyt и, следовательно, пересекает координатные плоскости  xy, xt  и yt. Точка  Hxy  пересечения прямой K1K2 с координатной плоскостью xy уже найдена как точка пересечения прямой LL1 с названной плоскостью. Эта точка представлена на чертеже (рис.2.3.3) проекциями.

Точка Kxt пересечения прямой  K1K2   с плоскостью xt, а также точка Mt  пересечения той же прямой с плоскостью yt определены точно такими же построениями. Так как прямая  K1K  принадлежит плоскости  ABC, то точки  Kxt  и  Myt  являются следами данной плоскости на координатных плоскостях  xt  и  yt  соответственно.

Точки  W и M, принадлежащие плоскости ABC, соединены прямой, которая оказывается лежащей в координатной гиперплоскости yzt  и является искомым следом данной плоскости на названной координатной гиперплоскости. Точка пересечения  прямой  WM  с координатной плоскостью  zt определяется как точка пересечения проекций этой прямой на координатной  плоскости zt (y = 0). Эта точка и является следом плоскости ABC  на координатной плоскости  zt.

Точки   Nz и Kx соединены прямой, которая принадлежит плоскости  ABC  и оказывается лежащей в координатной гиперплоскости  xzt. Таким образом, прямая  NK  является искомым следом плоскости ABC на координатной гиперплоскости xzt. Прямая NK, не лежащая в гиперплоскости xzt, пересекает координатную плоскость zt  и, очевидно, в той же точке  V, в которой пересекает эту плоскость прямая  LL1. На чертеже (рис.2.3.3) проекция Lxyz L1xyz  прямой проходит через проекцию  Vxz  точки.

Таким образом, найдены следы плоскости ABC на четырех координатных гиперплоскостях  xyz, xyt, xzt и yzt    соответственно прямые  LL1, K1K2, KN и WM  и следы той же плоскости на шести координатных плоскостях  xy, xz, xt, yz, yt, zt  соответственно точки  H, V, K, W, M, N.

Плоскость, пересекающая все координатные гиперплоскости и все координатные плоскости, будем называть плоскостью общего положения.

По отношению к координатной системе  Oxyzt  плоскость может занимать следующие частные положения :
1. может быть полупараллельна одной из координатных плоскостей ;
2. может быть параллельна одной из координатных осей ;
3. может быть параллельна одной из координатных гиперплоскостей ;
4. может быть параллельна двум координатным гиперплоскостям или координатной плоскости их пересечения ;
5. может лежать в одной из координатных гиперплоскостей.

Рассмотрим последовательно перечисленные случаи.

Плоскость, полупараллельная координатной плоскости, не имеет следа на этой плоскости. Через каждую точку такой плоскости может быть проведена единственная прямая, параллельная названной координатной плоскости. Имея в виду последнее положение, рассматриваемую плоскость легко можно изобразить на аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Пусть нужно изобразить плоскость, полупараллельную координатной плоскости xy. Через каждую точку такой плоскости должна проходить единственная прямая, параллельная названной координатной плоскости. Построение изображения плоскости и начнем с построения прямой, параллельной координатной плоскости  xy . Такая   прямая представлена на рис.2.3.4,с.

Ели теперь вне этой прямой задать произвольную точку  так, чтобы ее координаты имели значения, отличные от значений координат точек A  и  B, то прямая  AB  и точка C определят искомую  плоскость.

На рис.2.3.4,а, в изображена точка C, заданная в соответствии с вышеуказанными соображениями, значит, изображена и искомая плоскость. На чертежах точки A, B и C соединены попарно прямыми. 0днако проекции прямой  AB  выделены утолщенными линиями, чтобы  выявить ее как исходную прямую при задании плоскости.

Если теперь построить след  Lxyz L'xyz (на рисункe " ' " обозначено "    ") плоскости ABC на координатной гиперплоскости xyz, то он будет изображен прямой, параллельной плоскости xy. Аналогичным путем может быть изображена плоскость, полупараллельная любой координатной плоскости. Из плоскостей такого вида зададим еще плоскость, полупараллельную  координатной плоскости yt.

3ададим такую плоскость прямой, параллельной плоскости  yt  и точкой, лежащей вне этой прямой. Такое задание  плоскости представлено на рис.2.3.5, где DE — прямая, параллельная координатной плоскости yt, и точка  расположена вне этой прямой. Точка F  соединена прямыми с точками D и E. Если прямая DE будет иметь одинаковые координаты по оси  Ot  или по оси Oz, то плоскость DEF будет проецирующей соответственно на плоскость xt и xz, или при равенстве координат t и z  проецирующей на координатные плоскости xt и xz (рис.2.3.6).

Если плоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то такая плоскость лежит с этой осью в одной гиперплоскости и, следовательно, в рассматриваемой плоскости должна лежать прямая, параллельная этой же координатной оси. Таким образом, плоскость, параллельная координатной оси, может быть задана прямой, параллельной такой оси, и точкой, лежащей вне этой прямой.

Если изобразить плоскость, параллельную оси  Oy, то такая плоскость на аксонометрическом чертеже и ортогональном чертеже спроецируется на координатные плоскости xz, xt, zt в виде прямой линии. Через любую точку плоскости, параллельной оси Oy, можно провести прямую, параллельную оси Oy, параллельную этой оси и лежащую в названной плоскости. Сделать же это в плоскости, полупараллельной координатной плоскости  yt, которая представлена на рис.2.3.5, нельзя (в гиперплоскости xyz плоскость  Fxyz Dxyz Exyz   занимает общее положение).

Плоскость, параллельная оси  Oy, является проецирующей плоскостью уже на координатную плоскость xt, xz, и zt. Кроме того, она полупараллельна плоскости  xy  и  yz.

Рассмотрим плоскость, параллельную оси  Ot  в трех координатных гиперплоскостях (рис.2.3.7) xyz, xyt, yzt. Эта плоскость проецируется на координатные плоскости в виде прямой линии. Следом такой плоскости на координатной гиперплоскости xzt является прямая линия Wyzt W 'yzt  (на рисункe " ' " обозначено "    "), параллельная оси Ot.

След же на координатной гиперплоскости xyz совпадает с прямой Cxyz Axyz (Bxyz), которая на эту гиперплоскость проецируется в прямую линию. На ортогональном чертеже в виде прямой изображаются также проекции Cxz Axz (Bxz), Ayz Byz  на координатные плоскости xz и yz соответственно.

В дальнейшем изложении плоскость, у которой в  виде прямой  линии изображаются проекции на какую-либо координатную гиперплоскость и соответственно на две координатные  плоскости, будем называть дважды проецирующей плоскостью.

Плоскость, параллельная координатной гиперплоскости, следа  на этой гиперплоскости не имеет. Все точки такой плоскости равноудалены от координатной гиперплоскости и, следовательно, координаты всех точек плоскости по одной из осей равны.

На рис.2.3.8 представлена плоскость ABC, параллельная координатной гиперплоскости xyz. Координаты точек  A, B и C, определяющих названную плоскость на оси Ot, равны. Вследствие такого равенства координат любая фигура, лежащая в рассматриваемой плоскости на аксонометрическом чертеже (рис.2.3.8,а) имеет равные  проекции Axyt Bxyt Cxyt и Axy Bxy Cxy. Плоскость, параллельная координатной гиперплоскости xyt, представлена на рис.2.3.9. Вследствие равенства координат всех точек этой плоскости по оси Oz ее проекция  Axyz Bxyz Cxyz  расположена параллельно координатной плоскости xy. На аксонометрическом  чертеже и проекция Axz Bxz Cxz параллельно оси Ox на дополнительном чертеже (рис.2.3.8,б). Плоскость, параллельная координатной гиперплоскости xzt для всех точек по оси Oy имеет равные координаты. Вследствие этого на аксонометрическом чертеже оказывается проекция Axyz Bxyz Cxyz, параллельная координатной плоскости xz, и на xy проецируется в виде прямой линии Axy Bxy Cxy, параллельной оси Ox (рис.2.3.9).

Плоскость, параллельная координатной гиперплоскости yzt, для всех точек имеет равные координаты по оси  Ox.

Плоскость, параллельная двум координатным гиперплоскостям, не имеет следов на этих гиперплоскостях и параллельна координатной плоскости их пересечения. Для всех точек такой плоскости координаты по двум осям соответственно равны. Так, например, плоскость  ABC, параллельная координатным гиперплоскостям  xyz и xyt, а следовательно, и их общей координатной плоскости  xy, для всех точек имеет соответственно равные координаты по осям Ot и Oz. Такая плоскость представлена на рис.2.3.10. Вследствие равенства координат всех точек плоскости по оси Oz проекция Axyz Bxyz Cxyz параллельна плоскости xy на координатной гиперплоскости  xyz  и проекция Axz Bxz Cxz параллельна оси Ox на ортогональном чертеже
(рис.2.3.10,б).

Плоскость  ABC, параллельная координатным гиперплоскостям xyt  и  xzt  представлена на рис.2.3.11. Рассматриваемая плоскость является  дважды проецирующей, и особенности расположения ее проекций можно видеть непосредственно на чертеже.

Плоскость  ABC, параллельная координатным гиперплоскостям xyz и xzt,  представлена на рис.2.3.12. Вследствие соответственного равенства координат точек такой плоскости по осям Oy и Ot  на ортогональном чертеже проекции на координатных плоскостях xy и xt изображаются в виде прямой, параллельной оси Ox.

На рис.2.3.13 представлена плоскость, параллельная координатным гиперплоскостям xyt и yzt, а следовательно, и координатной плоскости yt.

На рис.2.3.14 представлена плоскость, параллельная координатным гиперплоскостям xyz и yzt, а следовательно, и координатной плоскости  yz. Здесь имеется равенство координат по осям Ox и Ot. Такая плоскость проецируется на координатную плоскость xt в точку. Если плоскость параллельна двум координатным гиперплоскостям, то на две другие она является проецирующей. Данное понятие легко усматривается  на рис.2.3.15. Здесь  плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми AB и CD,  параллельна двум координатным гиперплоскостям xzt и yzt. На координатные гиперплоскости xyz и xyt она проецируется прямыми линиями, на общую плоскость xy — в точку. Если плоскость лежит в той или иной координатной гиперплоскости, то это значит, что она лежит в трехмерном координатном пространстве. Особенности, характеризующие положение плоскости в таком пространстве, а также расположение ее проекций на аксонометрическом и ортогональном чертежах, известны из начертательной геометрии трехмерного пространства.



 

2.4. Гиперплоскость

Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, однозначно определяют в четырехмерном пространстве линейный трехмерный образ, который называется гиперплоскостью этого пространства.

Гиперплоскость также однозначно определяется двумя скрещивающимися прямыми. Проекции скрещивающихся прямых  на аксонометрическом и ортогональном чертежах могут быть расположены как угодно, но отличаться от расположения проекций пересекающихся и параллельных прямых. Две скрещивающиеся прямые и СD представлены на аксонометрическом и ортогональном чертежах (рис.2.4.1).

Пусть на ортогональном чертеже (рис.2.4.2) гиперплоскость ABCD задана четырьмя точками
A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости, эта гиперплоскость пересекается с координатными гиперплоскостями по плоскостям, которые будем называть следами гиперплоскости на координатных гиперплоскостях. С координатными плоскостями гиперплоскость ABCD пересекается по прямым. Такие прямые будем называть следами гиперплоскости на координатных плоскостях.

Для построения следа (рис.2.4.3) гиперплоскости ABCD на любой координатной гиперплоскости достаточно определить на последней следы 3-х не лежащих в одной плоскости прямых, принадлежащих данной гиперплоскости. На рис.2.4.3 точки A, C и D соединены прямыми с точкой
B и известным путем найдены следы прямых AВ, BC и BD на координатной гиперплоскости  xyz  точки L1, L2, L3.

Эти точки определяют плоскость L1L2L3, которая  является следом гиперплоскости ABCD на координатной гиперплоскости xyz. Определив следы тех же прямых на других координатных гиперплоскоcтях, можно найти на этих гиперплоскостях следы рассматриваемой гиперплоскости ABCD, Плоскость L1L2L3 принадлежит гиперплоскости xyz и пересекает координатные плоскости xy, xz, yz, ибо, как видно из чертежа, она не параллельна ни одной из названных плоскостей. Построение прямых  Pxy, Pxz  пересечения плоскости  L1L2L с координатными плоскостями
xy, xz  и yz  соответственно выполнено на чертеже точно так же, как построение следов плоскости общего положения в начертательной геометрии трехмерного пространства. Поскольку плоскость L1L2L3 принадлежит к гиперплоскости ABCD, то найденные прямые Pxy, Pxz и Pxt, являются следами гиперплоскости ABCD на соответствующих координатных плоскостях xy, xz, yz. Точки
Px, Py, Pz являются точками пересечения гиперплоскости ABCD с координатными осями
Ox, Oy и Oz . Такие точки будем называть точками схода следов гиперплоскости на координатных осях.

Чтобы построить след Pxt гиперплоскости ABCD на координатной плоскости xt, достаточно найти одну точку пересечения названной гиперплоскости с указанной координатной плоскостью. Эта точка вместе с точкой схода Px определит положение искомого следа.

На рис.2.4.3 найдена точка пересечения плоскости ABC с координатной плоскостью  xt точка K. Названная точка соединена прямой с точкой  Px, в результате чего определен след Pxt, на пересечении которого с осью Ot   находится точка схода Pt.

След  Pyz  гиперплоскости ABCD на координатной плоскости yt, как и след Pyz , построен по имеющимся следам Pxy , Pxt . Шестой след  Pzt  данной гиперплоскости ABCD проходит на координатной плоскости yt (данная координатная плоскость на рис.2.4.3 не задана) проходит через точки схода Pz и Pt .

Отрезки  OPx OPy OPz и OPt, отсекаемые гиперплоскостью на координатных осях Ox, Oy, Oz и Ot, будем называть параметрами гиперплоскости по соответствующим координатным осям.

Четыре параметра гиперплоскости однозначно определяют ее положение в  четырехмерном пространстве. Положение каждого следа гиперплоскости, как видно из рис.2.4.3, определяется двумя ее параметрами. Таким образом, положение гиперплоскости может быть однозначно определено тремя ее следами на координатных плоскостях, которые позволяют найти четыре параметра этой гиперплоскости, например, следами Pxy,  Pxz и Pxt или следами  Pxz, Pyz и Pzt  и т.д.

Нами было рассмотрено построение  следов гиперплоскости ABCD на ортогональном чертеже. Построение следов той же гиперплоскости на аксонометрическом чертеже может быть выполнено на основании аналогичных рассуждений. На рис.2.4.4 показаны следы гиперплоскости ABCD в косоугольной изометрической проекции при показателях искажения по осям, равных 0,5.

Изображение гиперплоскости на ортогональном и аксонометрическом чертежах ее следами на координатных плоскостях хорошо увязывается с аналитической формой задания гиперплоскости.

Как известно, уравнение гиперплоскости четырехмерного пространства при принятых обозначениях координатных осей имеет вид:
 

                                                        (2.4.1)
 где A, B, C, D, E некоторые числа, а  x, y, z, t текущие координаты.

Если обозначить  a = -E / A b = -E / B,  c = -E / C,  d = -E / D,  то уравнение (2.4.1) может быть преобразовано в уравнение вида:
 

                                                                (2.4.2)
 
которое называется уравнением гиперплоскости относительно отрезков, отсекаемых ею на осях координат, так как числа a, b, c и d выражают такие отрезки. Следовательно, между уравнением гиперплоскости (2.4.1) и (2.4.2) и изображением ее следов на ортогональном и аксонометрическом чертежах устанавливается непосредственная связь, ибо названные  величины в уравнении (2.4.2) являются числовым выражением параметров OPx, OPy, OPz и OPt  гиперплоскости, представленных на рис.2.4.3 и 2.4.4.

Гиперплоскость, пересекающую все четыре координатные оси, будем называть гиперплоскостью общего положения. Ни один из коэффициентов A, В, C, D и E такой гиперплоскости в уравнении (2.4.1) не равен нулю.

Графическое выражение гиперплоскости общего положения ее следами на координатных плоскостях представлено на рис.2.4.3 и 2.4.4. Из рисунков видно, что ни один след не параллелен ни одной из координатных осей.

По отношению к координатной системе  Oxyzt  гиперплоскость может занимать следующие частные положения:
1) может быть параллельна одной из координатных осей;
2) может быть параллельна каким-нибудь двум координатным осям одновременно. В таком случае гиперплоскость параллельна координатной плоскости, определяемой этими двумя осями;
3) может быть параллельна каким-нибудь трем координатным осям. В этом случае она параллельна координатной гиперплоскости, которая определяется такими тремя координатными осями.

Рассмотрим последовательно перечисленные частные случаи.

Если гиперплоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то она отсекает на ней отрезок бесконечно большой длины. Аналитически это означает, что в уравнении (2.4.1) коэффициент при соответствующей текущей координате равен нулю. Так, например, если гиперплоскость параллельна координатной оси Ox, то в уравнении (2.4.1) коэффициент A равен нулю, и уравнение гиперплоскости имеет вид:
 

                                                          (2.4.3)
или
                                                               (2.4.4)
 
На рис.2.4.5 представлена гиперплоскость Q, параллельная оси Ox, при разных числовых значениях параметров по осям  Oy и Ot.

Гиперплоскость четырехмерного пространства однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Следовательно, гиперплоскость может быть однозначно задана и соответствующими комбинациями линейных образов, которые  могут быть образованы четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Так, например, гиперплоскость может быть задана плоскостью и точкой, не лежащей в этой плоскости, двумя скрещивающимися прямыми или тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, но не лежащими в одной плоскости и т.д.

Рассмотрим, как может быть задана гиперплоскость, какими комбинациями линейных образов, параллельно оси Ox. Уже отмечалось, что если гиперплоскость параллельна некоторой прямой, то она проходит через прямую, параллельную данной прямой, Следовательно, гиперплоскость, параллельная оси Ox, должна проходить через прямую, параллельную названной оси. Естественно, что интересующую нас гиперплоскость следует задать такой комбинацией геометрических образов , которая содержала бы прямую, параллельную оси Оx. На рис.2.4.6 представлена гиперплоскость, параллельная оси Ox, заданная двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых ( прямая AB ) параллельна оси  Ox, а другая ( прямая CD ) занимает общее положение относительно координатных плоскостей .

Обычно, когда гиперплоскость на ортогональном и аксонометрическом чертежах изображается не следами, целесообразно показать ее четырехгранником, вершинами которого являются четыре точки, не лежащие в одной плоскости и определяющие положение этой гиперплоскости. Таким четырехгранником представлена гиперплоскость на рис.2.4.6. В этом четырехграннике две скрещивающиеся прямые AB и CD, которыми была задана гиперплоскость , параллельная оси Ox, даны утолщенными линиями

Ранее было указано, что положение гиперплоскости может быть однозначно определено тремя ее следами на координатных плоскостях. Имея в виду это, можно сказать, что на рис.2.4.5 положение гиперплоскости Q, параллельной оси Ox, может быть задано тремя следами qxy, qxz и qxt  или  qxz, qyz и qyt и т.д. С точки зрения задания гиперплоскости комбинациями линейных образов, в первом случае гиперплоскость оказывается заданной тремя параллельными прямыми, не лежащими в одной плоскости, во втором тремя прямыми, пересекающимися в одной точке Q y, но также не лежащими в одной плоскости.

На рис.2.4.7  представлена гиперплоскость R, параллельная оси Ot, на рис.2.4.8 представлена гиперплоскость  R, параллельная оси  Ot.

Гиперплоскость, параллельная осям  Oy и Ot, также может легко быть изображена ее следами на координатных плоскостях и четырехгранником, если гиперплоскость параллельна каким-нибудь двум координатным осям одновременно, то она отсекает на каждой из этих осей отрезок бесконечно большой длины. Так, например, если гиперплоскость параллельна осям Оx  и  Oy, то на этих осях гиперплоскость отсекает отрезки бесконечно большой длины. Аналитически это выражается в том, что в уравнении (2.4.1) коэффициенты A и B равны нулю. В этом случае уравнение принимает вид:
 

                                                                 (2.4.5)
или
                                                                     (2.4.6)
 
 Рассмотрим гиперплоскость R, которая представлена на рис.2.4.9 следами на координатных плоскостях. Данная гиперплоскость параллельна координатной плоскости  xy  и следа на этой плоскости не имеет. Если гиперплоскость параллельна какой-нибудь плоскости, то такая гиперплоскость проходит через плоскость, параллельную данной плоскости. Имея в виду это положение, гиперплоскость R можно задать плоскостью, параллельной координатной плоскости xy, и точкой, лежащей вне этой плоскости.

На основании аналогичных соображений легко может быть изображена гиперплоскость, параллельная какой-нибудь другой координатной плоскости.

Из гиперплоскостей такого вида рассмотрим последовательно гиперплоскости, параллельные координатным плоскостям xt, zt и yt.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости xt, может быть задана двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна оси Ox, а вторая оси Ot. Такая гиперплоскость представлена на рис. 2.4.10, где АВ — прямая, параллельная оси Ox, а CD прямая, параллельная оси Ot. Как видно из чертежа, ортогональная проекция рассматриваемой гиперплоскости на координатную гиперплоскость xyz вырождается в плоскость Axyz Bxyz Cxyz, которая имеет проекцию на координатной плоскости yz в виде прямой линии. На этой прямой располагаются проекции на эту плоскость всех точек, лежащих в заданной гиперплоскости.

На рис. 2.4.10 показана точка Е, лежащая в данной гиперплоскости на прямой ВС.

Если построить след заданной гиперплоскости, то след гиперплоскости Pyz совпадает с проекцией гиперплоскости Dyz Cyz Ayz Byz .

Аналитически такая плоскость выражается уравнением
 

                                                             (2.4.7)
или
                                                                 (2.4.8)
 
Графическое задание такой гиперплоскости следами изображено на рис.2.4.11.

Рассмотрим гиперплоскость, параллельную координатной плоскости  zt, на основе соображений, аналогичных только что изложенным. Такая гиперплоскость аналитически выражается уравнением:
 

                                                           (2.4.9)
или
                                                              (2.4.10)
 
Графическое выражение такой гиперплоскости следами на координатных плоскостях представлено на рис.2.4.12. Здесь же показана точка B, лежащая в заданной гиперплоскости.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости  zt, может быть задана двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна оси  Oz, а вторая оси  Ot.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости  yt, аналитически выражается уравнением:
 

                                                        (2.4.11)
или
                                                            (2.4.12)
 
Названная гиперплоскость представлена на рис.2.4.13.

Гиперплоскость, параллельная координатной плоскости  yt, может быть задана плоскостью, параллельной названной координатнойплоскости и точкой, не лежащей в этой плоскости, двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна оси  Oy, а вторая оси  Ot, а также комбинацией геометрических образов, определяющих положение рассматриваемой гиперплоскости. На рис.2.4.14 гиперплоскость, параллельная координатной плоскости  yt, задана двумя скрещивающимися прямыми  AB и CD, проекции которых на координатную плоскость xz сливаются в одну прямую.

Рассмотрим гиперплоскость, параллельную одновременно трем координатным, например, осям  Ox, Oy и Oz. Такая гиперплоскость параллельна координатной гиперплоскости  xyz, следовательно, координаты по оси  Ot  всех точек этой гиперплоскости равны. Данная гиперплоскость выражается уравнением

                                                                (2.4.13)
или
                                                                    (2.4.14)
 
Она представлена на рис.2.4.15 следами на координатных плоскостях.

Любая точка, лежащая в такой гиперплоскости, имеет координату по оси Ot, равную параметру  OPt  этой гиперплоскости по той же оси. Здесь же показано задание данной гиперплоскости 4х-гранником, проекция которого на  xt  совпадает с ее следом.

Гиперплоскость, параллельная координатной гиперплоскости  xyt, представлена на рис.2.4.16. Такая гиперплоскость выражается уравнением:
 

                                                                 (2.4.15)
или
                                                                    (2.4.16)
 
На чертеже показана точка А, лежащая в рассматриваемой гиперплоскости.

Гиперплоскость, параллельная координатной гиперплоскости приведена на рис.2.4.17.
Эта гиперплоскость выражается уравнением:
 

                                                                 (2.4.17)
или
                                                                     (2.4.18)
 
Гиперплоскость, параллельная координатной гиперплоскости  yzt, выражается уравнением:
 
                                                              (2.4.19)
или
                                                                  (2.4.20)
 
Графическое изображение такой гиперплоскости следами показано на рис.2.4.18.

При необходимости изобразить гиперплоскость, параллельную какой-нибудь координатной гиперплоскости не следами, ее можно задать четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости (рис.2.4.15). В этом случае следует иметь в виду, что у всех четырех точек координаты по оси, по которой измеряются расстояния от этой координатной гиперплоскости, должны быть равными.

Если в уравнении (2.4.1) положить  E = 0, то уравнение имеет вид :
 

                                                      (2.4.21)
 
 Это уравнение удовлетворяется при  x = 0;  y = 0;  z = и  t = 0  и представляет собой уравнение гиперплоскости, проходящей через начало координат. Все шесть следов такой гиперплоскости проходят через начало координат.

Если в уравнении (2.4.3) положить E = 0, то уравнение примет вид:
 

                                                           (2.4.22)
 
 которое является уравнением гиперплоскости, проходящей через начало координат параллельно оси  Ox, т.е. уравнение гиперплоскости, проходящей через ось  Ox. Три следа такой гиперплоскости qxy, qxz и qxt  проходят через начало координат, а три следа qyz, qzt и qyt  совпадают с осью Ox.

Аналогично может быть выражено уравнение гиперплоскости, проходящей через любую другую координатную ось.

Если в уравнении (2.4.5)  E = 0, то это уравнение принимает вид:
 

                                                                (2.4.23)
 
которое является уравнением гиперплоскости, проходящей через координатную плоскость xy.

Следы такой гиперплоскости Rxz и R(рис.2.4.9) совпадают с осью  Ox, следы  Ryz и Ryt
с осью Oy. Аналогично можно представить уравнение гиперплоскости, проходящей через какую-нибудь другую координатную плоскость.



 

2.5. Гипергранники

В трехмерном пространстве многогранником называется геометрическая фигура, ограниченная плоскостями.

По аналогии с трехмерным пространством можно дать определение гиперграннику, как геометрическая фигура в четырехмерном пространстве, ограниченная гиперплоскостями.

Гипергранники, как и многогранники, могут быть правильными и неправильными.

В четырехмерном пространстве имеется шесть правильных гипергранников, которые называются политопами. Одними из политопов являются гиперкуб и симплекс (гипертетраэдр). Кроме того, в четырехмерном пространстве могут быть и гиперпризма, и гиперпирамида, и многие другие геометрические фигуры, полученные по аналогии с трехмерным пространством.

Построение проекции гипергранников сводится к нахождению проекций его гиперграней (трехмерных фигур), граней (двумерных плоскостей), ребер и точек. Все эти построения сводятся к построению проекций отдельных точек, как это было рассмотрено в предыдущих параграфах.

Перед тем, как перейти к изображению гипергранников, рассмотрим трехмерный куб в четырехмерном пространстве, Трехмерный куб в четырехмерном пространстве это ни что иное, как гиперплоскость, определяющая трехмерной фигурой. Следовательно, как и гиперплоскость, куб может занимать в четырехмерном пространстве различные общие и частные положения.

Рассмотрим изображение куба Р, когда он занимает положение,параллельное координатной гиперплоскости xyz (рис.2.5.1). Все точки куба Р имеют равные координаты по оси Ot. Три взаимно-перпендикулярные ребра куба P расположены параллельно трем взаимно-перпенди- кулярным осям Ox, Oy, Oz гиперплоскости проекции  xyz. Проекция на гиперплоскость будет иметь натуральную величину. Проекция же на координатную гиперплоскость  xyt   будет иметь плоскую фигуру, т.к. все точки по оси Oz  вырождаются. Проекция же на координатную плоскость xt будет изображаться в виде отрезка прямой линии. Куб P определяет гиперплоскость
"t - уровня", у нее все координаты по оси Ot равны. В координатной гиперплоскости xyz куб P имеет проекции аналогично трехмерному пространству, при этом его двумерные грани проецируются на координатные плоскости в натуральную величину. На рис.2.5.1,б,в дано изображение куба P на аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Рассмотрим гиперкуб Q в четырехмерном пространстве на наглядном, аксонометрическом и ортогональном чертежах (рис.2.5.2, а,б,в).

На наглядном чертеже рассмотрим проекции гиперкуба  на все координатные гиперплоскости четырехмерного пространства (рис.2.5.2,а).

При этом гиперкуб помещен так, что передняя гипергрань ABCDEFMK и задняя гипергрань A`B`C`D`E`F`M`K` расположены параллельно гиперплоскости xyz  ( подобно тому, как выше был рассмотрен трехмерный куб). Построение проекций гиперкуба сводится к построенио проекции отдельных точек - его вершин. Рассматривая рис.2.5.2,а обратим внимание на следующее:

1) гипергрань  ABCDEFMK  спроецировалась на гиперплоскость xyz  в натуральную величину, а на гиперплоскость  xyt  в виде квадрата AEFB.
2) гипергрань A`B`C`D`E`F`M`K` спроецировалась на гиперплоскость хyz также в натуральную величину, а на гиперплоскость xyt в виде квадрата A`E`F`B`.
3) Проекция гиперграни  ABCDEFMK на гиперплоскость xyz и проекция гиперграни A`В`С`D`E`F`M`K` на xyz совпадают.
4) Все проекции гиперкуба Q на xyz, xyt, xzt и yzt получаются в виде одинаковых фигур 3х-мерных кубов.

На комплексном аксонометрическом чертеже (рис.2.5.2,б) гиперкуб Q  изображен своими проекциями  xyz и xyt в виде трехмерных кубов на координатных гиперплоскостях xyz, xyt. На ортогональной чертеже (рис.2.5.2,в) гиперкуб Q изображен на трех координатных плоскостях в виде квадратов; вершины этих квадратов представляют собой проекции вершин гиперкуба и одновременно проекции тех граней, которые расположены перпендикулярно к соответственной плоскости проекций.

Например, точка, обозначенная четырьмя буквами  A, B, C и D  на координатной плоскости, является проекцией грани AВCD.

Таким образом, если гиперкуб расположен так , что у него четыре взаимно-перпендикулярные ребра в одной вершине расположены параллельно четырем взаимно-перпендикулярным осям системы Oxyzt , то его гиперграни будут проецироваться на координатные гиперплоскости в натуральную величину.

К правильным гипергранникам в четырехмерном пространстве относится и гипертетраэдр (симплекс). Он получается следующим образом. В трехмерном тетраэдре определяется центр и восстанавливается перпендикуляр, на котором откладывается расстояние таким образом, чтобы получились ребра тетраэдра, равные ребрам трехмерного тетраэдра.

На рис.2.5.3,а основание гипертетраэдра ABCDS, трехмерный тетраэдр AВCD выбран параллельно гиперплоскости  xyz. Из его центра на перпендикуляре, который будет расположен параллельно оси Ot определена вершина S.

На рис.2.5.3,б, в гипертетраэдр AВCPS построен на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Данный гипертетраэдр является частным случаем гиперпирамиды, в основании которой лежит трехмерная фигура.

Гиперпризма имеет в основании также равные трехмерные фигуры (куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр), а боковые грани гиперпараллелограммы, можно сказать,что изображение гиперпризмы представится на чертеже, как сочетание нескольких параллелепипедов и двух правильных трехмерных многогранников.

На рис.2.5.4,а,б,в гиперпризма Р, основанием которой является тетраэдр, построена на наглядном аксонометрическом и ортогональном чертежах.

Основание гиперпризмы тетраэдр, как и для гипертетраэдра, расположено параллельно гиперплоскости  xyz.