1. КОНСТРУКТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Представим прямоугольную систему координат четырехмерного пространства Oxyzt (рис. 1.1.1).
Эта система состоит из четырех взаимно перпендикулярных координатных осей Оx, Оy, Оz, Оt, шести взаимно перпендикулярных плоскостей ху, xz, xt, yz, yt и zt и четырех взаимно перпендикулярных координатных гиперплоскостей xyz, xyt, xzt, yzt.

Отнесем к системе Оxyzt некоторую точку А четырехмерного пространства. Координатные гиперплоскости xyz и xyt примем за гиперплоскости ортогональной проекции. Спроектировав точку А пространства Е 4 на гиперплоскости xyz и хyt, получим в качестве ее ортогональных проекций точки Аxyz, Аxyt , координаты которых в прямоугольных системах Оxyz и Оxyt будут равны соответствующим координатам точки А в системе Оxyzt. Проекции Аxyz и Аxyt точки А на гиперплоскости xyz и xyt определяются в результате пересечения прямой S ҐА (где S Ґнаправление проецирования, перпендикулярное к гиперплоскости xyz или xyt и параллельное соответственно оси ot или oz) перпендикулярной к xyz  или xyt с этими гиперплоскостями.

Рассматривая точки  Аxyz и Аxyt , как точки трехмерных пространств xyz и xyt, построим их ортогональные проекции Аxy , Аxz, Аxt . Координаты этих точек в системах xy, xz, xt будут равны соответствующим координатам точки А в системе xyzt, т.е. они однозначно определяют положение точки в четырехмерном пространстве.

Аналогично точку А можно рассмотреть в координатных гиперплоскостях xyz, xzt (рис.1.1.2). Точки Аxyz и Аxzt проекции точки А на координатную гиперплоскость xyz и координатную гиперплоскость xzt; точки Аxt, Аxz и Аxy проекции точки А на координатные плоскости xt, xz, xy. Рассматривая проекции точки А четырехмерного пространства на все четыре трехмерные координатные пространства xyz, xyt, xzt, yzt и шесть двумерных координатных плоскостей xy, xz, xt, yz, yt, zt, получим с линиями проецирования и заданными координатами x, y, z, t известный гиперкуб (рис.1.1.3).

Работать на таком чертеже из-за большой нагроможденности неудобно. Рассмотрим принцип построения ортогонального плоского чертежа в трехмерном пространстве и попытаемся построить подобное в четырехмерном пространстве. В трехмерном пространстве точка определятся на двумерных координатных плоскостях xz и xy проекциями Аxz и Аxy (рис.1.1.4,а). Чтобы получить плоский чертеж, совмещаем плоскость проекции xy с плоскостью xz, путем вращения плоскости xy  вокруг оси x. В результате получаем комплексный чертеж точки А, состоящей из двух проекций
Аxy и Аxz точки А (рис.1.1.4,б). Обе проекции Аxy и Аxz лежат на одном перпендикуляре к оси x. Будем рассуждать аналогично для четырехмерного пространства.

Точка в четырехмерном пространстве определяется на двух координатных гиперплоскостях xyz и xyt проекциями Аxyz и Аxyt . Чтобы получить трехмерный чертеж (трехмерное пространство) совмещаем гиперплоскость проекций xyt с гиперплоскостью xyz  путем вращения вокруг оси Ox (вокруг плоскости xy) (рис.1.1.5,а). В результате получим гиперкомплексный чертеж точки А, состоящий из двух проекций Аxyz и Аxyt точки А. Обе проекции Аxyz и Аxyt лежат на одном перпендикуляре к координатной плоскости xy (рис.1.1.5,б). Работать на таком чертеже уже удобнее. Однако, нельзя ли привести его к привычному нам изображению?

Для этого будем совмещать гиперплоскость проекций xyz с гиперплоскостью xyz в обратном направлении, так чтобы ось Ot совместилась с осью Oz в одном направлении. В результате совмещения плоскостей Oxz и Oxt получим ортогональный чертеж Радищева, который часто используется специалистами физико-химического анализа при решении задач по многокомпонентным системам (рис.1.1.6,а,б). Однако такой подход не отражает сущности получения комплексного чертежа четырехмерного пространства, если следовать по аналогии получения комплексного чертежа трехмерного пространства. Для этого совмещенные координатные гиперплоскости xyz и xyt параллельно разнесем на отдельные координатные гиперплоскости xyz и xyt как показано на рис.1.1.7. Координатные плоскости вращаем в направлении совмещения осей Oy и Oz в одном направлении, а затем их можно разнести. В этом случае лишний раз приходится вычерчивать ось х, но сущность комплексного плоского чертежа остается. На разнесенном чертеже четырехмерного пространства плоскость xy также повторяется дважды, координатные трехмерные плоскости изображены в привычном для нас виде, причем без наложения проекций друг на друга. Такой комплексный чертеж можно назвать разнесенным аксонометрическим гиперэпюром (в дальнейшем будем его называть просто аксонометрический гиперэпюр (чертеж)). Точки четырехмерного пространства задаются на таком чертеже тройками точек, расположенными на прямой (линии связи), перпендикулярной плоскости xy (проекция Аxy повторяется дважды) (рис.1.1.7,а). Если в трехмерном координатном подпространстве (гиперплоскости) xyz плоскость xy совместить с плоскостью xz, а в трехмерном координатном подпространстве xyt плоскость xy совместить с плоскостью xt, получим комплексный чертеж, которым будем называть разнесенный ортогональный гиперэпюр (ортогональный чертеж). Точки четырехмерного пространства задаются на таком чертеже тройками точек, расположенными на прямой линии связи, перпендикулярной оси Оx (проекция  Аxy повторяется дважды)  (рис.1.1.7,б).

Аналогично точку А можно рассмотреть на разнесенном аксонометрическом чертеже координатных гиперплоскостей xyt и yzt (рис. 1.1.8) и на разнесенном ортогональном чертеже координатных гиперплоскостей  xyt и xzt (рис.1.1.9).

На рис. 1.1.10 точка А изображена на аксонометрическом чертеже всех трехмерных координатных подпространств: xyz, xyt, xzt, yzt.  Точка вполне определяется двумя проекциями на координатных гиперплоскостях, поэтому рационально пользоваться только двумя координатными гиперплоскостями xyz, xyt  или  xyz, xzt.